無窮大量與有界函數相乘的結果是無窮大量嗎

無窮大量與有界函數相乘的結果是無窮大量嗎

不是.
比如lim x->0（sinx）×（1/x）
顯然sinx是有界函數且x->0時1/x是無窮大量
但是lim x->0（sinx）×（1/x）=1

函數f（x）=1/xsin1/x在（0,1/2）上是否有界
函數f（x）=1/x乘sin1/x在（0,1/2）上是否有界

無界令x = 1/（2kπ+π/2）k = 1，2，3 .此時x是趨於0的所以f（x）=（2kπ+π/2）* sin（2kπ+π/2）=（2kπ+π/2）趨於正無窮所以f（x）無上界再令x = 1/（2kπ-π/2）k = 1，2，3 .此時x是趨於0的所以f（x）=（2…

f（x+13/42）+f（x）=f（x+6）+f（x+1/7）f（x）為有界實函數證明f（x）為週期函數

目測題目打錯了，應該是f（x+13/42）+f（x）= f（x+1/6）+f（x+1/7）.
設g（x）= f（x+1/7）-f（x），則g（x+1/6）= f（x+13/42）-f（x+1/6）= f（x+1/7）-f（x）= g（x），即1/6是g（x）的週期.
設h（x）= f（x+1）-f（x）=（f（x+1）-f（x+6/7））+…+（f（x+1/7）-f（x））= g（x+6/7）+…+g（x）.
則1/6也是h（x）的週期，於是1也是h（x）的週期.
斷言h（x）恒等於0.若不然，設h（a）= b≠0，則對任意整數k，有h（a+k）= h（a）= b.
於是f（a+k）-f（a）= h（a+k-1）+h（a+k-2）+…+h（a）= kb，絕對值可以任意大，與f（x）有界衝突.
囙此我們得到f（x+1）-f（x）= h（x）= 0，即1是f（x）的週期.