向量ab平行且反向時a在b上投影是什麼

向量ab平行且反向時a在b上投影是什麼

│a│cosθ

設n維向量組a1，a2，a3線性無關，證明向量組a1+2a2，a2+2a3，a3+2a4線性無關.求詳細的解題過程

設存在一組數，k1，k2，k3使得k1（a1+2a2）+k2（a2+2a3）+k3（a3+2a1）=0整理得：（k1+2k3）a1+（2k1+k2）a2+（2k2+k3）a3=0因為a1，a2，a3線性無關所以k1 + 2k3=02k1+k2 =02k2+k3=0解得：k1=k2=k3=0所以向量組a1+2a2，a2+ 2a3，a3+2a…

線性代數，向量，以知n維向量a1，a2，a3線性無關，證明3a1＋2a2，a2-a3,4a3-5a1線性無關.用定義方法會了，用秩方法做，

證明：因為a1，a2，a3線性無關，所以r（a1，a2，a3）=3
由已知（3a1+2a2，a2-a3,4a3-5a1）=（a1，a2，a3）K
K=
3 0 -5
2 1 0
0 -1 4
= 22≠0
所以K是可逆矩陣
所以r（3a1+2a2，a2-a3,4a3-5a1）=r（（a1，a2，a3）K）=r（a1，a2，a3）=3
所以3a1+2a2，a2-a3,4a3-5a1線性無關.

設a1，a2，a3…an為一組n維向量，證明這n個向量線性無關的充要條件是任一n… 設a1，a2，a3…an為一組n維向量，證明這n個向量線性無關的充要條件是任一n維向量都可經它們線性表出.

必要條件：任意（n+1）個n維向量必線形相關即任意n維向量b都可以由a1，a2，a3…an線性表出.
充分條件：顯然

如果向量組α1，α2，α3，α4線性無關，而且其中的每一個向量都與向量β正交，則向量組 α1，α2，α3，α4與β A.一定線性相關B.一定線性無關C.可能線性相關，也可能線性無關

令A1α1+A2α2+A3α3+A4α4+A5β=0 ..（1）等式兩邊同時乘上β,則A1α1β+A2α2β+A3α3β+A4α4β+A5ββ=0由於αi與β 正交，則αiβ =0，i=1,2,3,4則A5ββ=0若β不為0向量，則取A5=0，則（1）式…

a1，a2，…an是一組n維向量，證明：它們線性無關的充分必要條件是任一n維向量組都可以由它們線性表示.

證明必要性
設a為任一n維向量
因為a1a2……an線性無關
而a1a2……ana是n+1個n維向量
是線性相關的
所以a能由a1a2……an線性表示
且表示式是唯一的
充分性已知任一n維向量都可由a1a2……an線性表示，
故組織座標向量組e1e2……en能由a1a2……an線性表示，
於是有n=R（e1e2……en）≤R（a1a2……an）≤n
即R（a1a2……an）=n
所以a1a2……an線性無關