求函數Y=x+x/（x^2-1）的單調區間，凹凸區間，極值，拐點，漸近線

求函數Y=x+x/（x^2-1）的單調區間，凹凸區間，極值，拐點，漸近線

y=x^3/（x^2-1）
y'=[3x^2（x^2-1）-2x^4]/（x^2-1）^2=x^2（x^2-3）/（x^2-1）^2
由y'=0得：x=0，√3，-√3，其中x=0時y'左右鄰域不變號，即x=0不是極值點.
單調增區間：x>√3，或x

作y=1+x^2分之的X^2凹凸區間，拐點，增减區間，極值.

y′=2*x/（1+x²）²y〃=2*（1-3*x²）/（1+x²）³y′=0，得x=0，∴x=0為極小值點y′≥0，得x≥0，∴y在[0，+∞）上單調遞增y′＜0，得x＜0，∴y在（-∞，0）上單調遞減y〃=0，得x=±√（1/3），∴=±√（1/3）為y的…

求ln（1+x^2）的單調區間，極值，拐點以及凹凸區間

設f（x）=ln（1+x^2）
則f'（x）=2x/（1+x^2），f''（x）=2（1-x^2）/（1+x^2）^2
當x>0時，f'（x）>0
當x

已知函數f（x）=lnx-ax+1−a x-1（a∈R），當a≤1 2時，討論f（x）的單調性.

f′（x）＝1
x−a−1−a
x2=-ax2−x+1−a
x2=-[ax+（a−1）]（x−1）
x2（x＞0），
令g（x）=ax2-x+1-a，
①當a=0時，g（x）=-x+1，當x∈（0，1）時，g（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，g（x）＜0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
②當0＜a＜1
2時，由f′（x）=0，x1=1，x2=1
a-1.此時1
a-1＞1＞0，
清單如下：
由表格可知：函數f（x）在區間（0，1）和（1
a−1，+∞）上單調遞減，在區間（1，1
a−1）上單調遞增；
③當a=1
2時，x1=x2，此時f′（x）＜0，函數f（x）在（0，+∞）單調遞減；
④當a＜0時，由於1
a-1＜0，則函數f（x）在（0，1）上單調遞減；在（1，+∞）上單調遞增.
綜上：當a≤0時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減；在（1，+∞）上單調遞增.
當a=1
2時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減.
當0＜a＜1
2時，函數f（x）在區間（0，1）和（1
a−1，+∞）上單調遞減，在區間（1，1
a−1）上單調遞增.

已知函數f（x）=lnx-ax+（1-a）/x（0

f（x）=lnx-ax+（1-a）/xf'（x）=1/x-a+（a-1）/x²=[-ax²+x+（a-1）]/x²=-a[x²-1/a*x+（1/a-1）]/x²=-a（x-1）[x-（1/a-1）]/x²當a=1/2時，1/a-1=1f'（x）=-1/2（x-1）²/x²≤0恒成…

已知函數f（x）=1/2x^2-ax+（a-1）lnx，a>1. 證明：若a-1

證明：
考慮函數g（x）=f（x）+x=1/2x²-ax+（a-1）lnx+x
則g'（x）=x-（a-1）+[（a-1）/x]≥2√[x•（a-1）/x]-（a-1）=1-[√（a-1）-1]²
由於1

函數f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx. （I）設F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的兩個極值點的充要條件. （II）求證：當a≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立.

（I）函數f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax2+2x+1-lnx，
其定義域為（0，+∞）.
∴F‘（x）＝2ax+2−1
x=2ax2+2x−1
x，
∴F（x）有兩個極值點，
∴方程2ax2+2x-1=0有兩個不相等的正根，
∴
△＝4+8a＞0
x1+x2＝−1
a＞0
x1•x2＝−1
2a＞0，
解得−1
2＜a＜0，
∴F（x）有兩個極值點的充要條件是−1
2＜a＜0.
（II）證明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是：
F（x）=ax2+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥lnx−（2x+1）
x2在（0，+∞）上恒成立.
令h（x）=lnx-（2x+1），則h′（x）＝1
x−2＝1−2x
x，
當x∈（0，1
2）時，h′（x）＞0，
當x∈（1
2，+∞）時，h′（x）＜0.
∴x＝1
2時，h（x）max=ln1
2−2＜0，
故x∈（0，+∞），都有lnx−（2x+1）
x2＜0，
∴當a≥0時，a≥lnx−（2x+1）
x2在（0，+∞）上恒成立，
即當a≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立.

試討論函數f（x）=logax+1 x-1（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的單調性，並予以證明.

設u=x+1x-1，任取x2＞x1＞1，則u2-u1=x2+1x2-1-x1+1x1-1=（x2+1）（x1-1）-（x1+1）（x2-1）（x2-1）（x1-1）=2（x1-x2）（x2-1）（x1-1）.∵x1＞1，x2＞1，∴x1-1＞0，x2-1＞0.又∵x1＜x2，∴x1-x2＜0.∴2（x1-x2）（x2-1）（x1-1）＜0，…

已知函數f（x）=loga[（4+x）/（4-x）]+1/x（0

設在定義域（-4,0）∪（0,4）的同一連續區間上，有m

已知函數f（x）＝lnx＋2x－6，（1）證明：f（x）在其定義域上是增函數， （2）證明：f（x）有且只有一個零點，

1.函數定義域為x>0.
y'=1/x+2 > 0.該函數是單調增函數.
y''=-1/x^2 < 0.函數是凸函數.
2.f'（x）=1/x+2>0，
所以f（x）單調遞增，
又因為x趨向於0時，f（x）趨向於-∞，
當x=e時，f（x）>0，
所以f（x）只有一個零點