如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB於點E，交AD於點F，求證：∠ADC=∠BDE.

如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB於點E，交AD於點F，求證：∠ADC=∠BDE.

作CH⊥AB於H交AD於P，
∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.
又∵BC中點為D，
∴CD=BD.
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH.
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，
∴∠PAH=∠ECH.
在△APH與△CEH中
∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，
∴△APH≌△CEH（ASA）.
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB.
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
即∠EBD=45°，
∵CH⊥AB，
∴∠PCD=45°=∠EBD，
在△PDC與△EDB中
PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，
∴△PDC≌△EDB（SAS）.
∴∠ADC=∠BDE.

在三角形ABC中，三邊長中a=3，b=4，c=6.h（a）表示a邊上的高.h（b），h（c）類似，求（ha+hb+hc）（1/ha+1/hb+1/hc）

由海倫公式得到三角形面積S=√[p（p-a）（p-b）（p-c）] p=（a+b+c）/2=13/2
因為2S= a*ha=b*hb=c*hc所以ha/hb=b/a以此類推
所求= 3s+（hb+hc）/ha+（ha+hc）/hb+（ha+hb）/hc
=3S+a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b=3s+27/4=105/4

設a，b，c為銳角三角形ABC的三邊長，ha，hb，hc為對應邊上的高，則U=ha+hb+hc/a+b+c的取值範圍是 U=（）A 0＜U＜1/2 B 1/2＜U＜1 C 1＜U＜2 D 2＜U＜4 設a，c為銳角三角形ABC的三邊長，ha，hb，hc為對應邊上的高，則U=ha+hb+hc/a+b+c的取值範圍是U=（） A 0＜U＜1/2 B 1/2＜U＜1 C 1＜U＜2 D 2＜U＜4

分析：先根據題意畫出圖形，則有ha+BD＞c，ha+DC＞b，2ha+a＞b+c，同理，2hb+b＞c+a，2hc+c＞a+b，2（ha+hb+hc）＞（a+b+c），又ha＜b，hb＜c，hc＜a，ha+hb+hc＜a+b+c，繼而即可求出答案.
 
 
如下圖所示：
∵ha+BD＞c，ha+DC＞b，
∴2ha+a＞b+c，
同理，2hb+b＞c+a，2hc+c＞a+b，
∴2（ha+hb+hc）＞（a+b+c），
又ha＜b，hb＜c，hc＜a，
∴ha+hb+hc＜a+b+c
∴U＜1
故
1/2＜U＜1.

直角三角形ABC中，∠C=90度，AC=4，則向量AB乘以向量AC等於？

原式=|AB|*|AC|*cosA=|AB|*|AC|*（|AC|/|AB|）=4*4=16.

在直角三角形ABC中，若向量AB=（1，k），向量AC=（2,1）.且角C等於九十度.則k的值

向量BC=AC-AB=（1,1-K），
角C等於九十度，
∴0=AC*BC=2+1-k=3-k，
∴k=3.

在直角三角形ABC中，角A為90度，AB=1，求向量AB點乘向量BC的值

以A為原點，AB所在直線為X軸，AC所在直線為Y軸建立直角坐標系
所以A（0,0）B（1,0）C（0，y）
所以向量AB=（1,0）
向量BC=（-1，y）
所以向量AB點乘向量BC=1*（-1）+0*y=-1

在直角三角形ABC中，角C=90度，AB=5，AC=4，求向量AB與向量BC的數量積

|BC|=3，AB*BC=|AB||BC|cos（π-∠B）
=5*3*（-3/5）
= -9

已知k∈Z， AB=（k，1）， AC=（2，4），若| AB|≤4，則△ABC是直角三角形的概率是___.

由題意
AB=（k，1），|
AB|≤4，
故有k2+1≤16，又k∈Z，故有k的取值可能為-3，-2，-1，0，1，2，3有七種，即這樣的三角形有七個，
又
AC=（2，4），故向量
BC=（2-k，3），
令
AB•
AC=0，得2k+4=0解得k=-2符合題意，
令
AB•
BC=0得2k-k2+3=0，解得k=-3，或k=1，符合題意，
令
AC•
BC=0，得4-2k+12=0解得k=8，不符合題意故舍，
故直角三角形的個數是3，
△ABC是直角三角形的概率是3
7；
故答案為：3
7.

已知直角三角形兩條直角邊的和等於8，兩條直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最大，最大值是多少？

設直角三角形的直角邊為x，則另一直角邊為8-x.直角三角形的面積是S.
根據題意，得
S=1
2x（8-x）（0＜x＜8），
配方，得
S=-1
2（x-4）2+8；
∴當x=4時，即兩條直角邊各為4時，此時三角形的面積最大，最大面積是8.

已知直角三角形兩條直角邊的和等於4兩條直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最大，最大值是多少？ 二次函數

設這個直角三角形的一條直角邊為x，面積為y，那麼另一條直角邊就為（4-x）..
根據三角形面積公式得二次函數：
y=x（4-x）÷2，即：y=-x²/2+2x
改寫成配管道，得：
y=-1/2（x-2）²+2
所以：當這個三角形的兩條直角邊都為2時，這個直角三角形的面積最大，最大值是2.