若向量a=（2，x+1），b=（x+2,6），且a，b夾角為銳角，則實數x的取值範圍是？

若向量a=（2，x+1），b=（x+2,6），且a，b夾角為銳角，則實數x的取值範圍是？

設，a、b的夾角為x，可得：
因：ab=|a||b|cosx
a，b夾角為銳角
即：cosx>0
所以有：ab>0
則：2（x+2）+6（x+1）>0
8x+10>0
解得：x>-5/4

三角形ABC中向量BD=2向量DC向量AD=m向量AB+n向量AC則m\n= 要詳細解答過程能讓我聽懂的

向量BD=2向量DC
向量AD=m向量AB+n向量AC
AD=AB+BD=AB+1/3BC=AB+1/3（BA+AC）=2/3AB+1/3AC
則m=2/3，n=1/3
m/n=2

對於非空集合A，B，定義運算：A⊕B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M={x|a＜x＜b}，N={x|c＜x＜d}，其中a、b、c、d滿足a+b=c+d，ab＜cd＜0，則M⊕N=（） A.（a，d）∪（b，c） B.（c，a]∪[b，d） C.（c，a）∪（d，b） D.（a，c]∪[d，b）

由已知M={x|a＜x＜b}，∴a＜b，又ab＜0，∴a＜0＜b，
同理可得c＜0＜d，
由ab＜cd＜0，c＜0，b＞0，∴a
c＞d
b，∴a−c
c＞d−b
b，
又∵a+b=c+d，∴a-c=d-b，∴d−b
c＞d−b
b，
又∵c＜0，b＞0，∴d-b＜0，囙此，a-c＜0，
∴a＜c＜0＜d＜b，
∴M∩N=N，∴M⊕N={x|a＜x≤c，或d≤x＜b}=（a，c]∪[d，b）.
故選D.

用向量法證明已知正四面體ABCD，若AB垂直CD，AD垂直BC，則AC垂直BD

令向量AB=d，向量AC=c，向量AD=d
則向量CD=AD-AC=d-c，BC=AC-AB=c-b，BD=AD-AB=d-b
因為AB垂直CD，AD垂直BC
所以AB點乘CD=0，即b點乘（d-c）=0，就有b點乘d=b點乘c
同理，d點乘c=d點乘b
所以d點乘c=b點乘c
那麼有，AC點乘BD=c點乘（d-b）=c點乘d-c點乘b=0
所以AC垂直BD

在四面體ABCD中已知AB垂直CD，AC垂直BD求證AD垂直BC，

過B作BE⊥CD交CD於E，過C作CF⊥BD交BD於F，令BE∩CF＝O.
∵CD⊥AB、CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE，又AO在平面ABE內，∴AO⊥CD.
∵BD⊥AC、BD⊥CF，AC∩CF＝C，∴BD⊥平面ACF，又AO在平面ACF內，∴AO⊥BD.
由AO⊥CD、AO⊥BD，CD∩BD＝D，∴AO⊥平面BCD，∴DO是AD在平面BCD上的射影.
由BE⊥CD、CF⊥BD，BE∩CF＝O，得：DO⊥BC.〔三角形的三條高共點〕
結合證得的DO是AD在平面BCD上的射影，得：AD⊥BC.〔三垂線定理〕

已知四面體abcd，ab=cd，ac=bd，ad=bc證明四個面都是銳角三角形

∵AB=CD，AC=BD，AD=BC
∴四個三角形全等
若有一個是直角或鈍角三角形，那
麼它們都是直角或鈍角三角形.
令AB=CD=m，AC=BD=n，AD=BC=l
不妨設m≥n≥l，
假設ΔABC和ΔABD是直角三角形
則大邊AB所對角∠ADB=∠ACB=90º
將面ABC與面ABD展平成一個面，
AC=BD，AD=CB
此時ACBD是矩形，AB=CD，
設AB∩CD=M，將面ABD沿AB
折起，ΔDMC中，DM+CM>CD，
而DM+CM=AB，則AB>CD衝突.
假設ΔABC和ΔABD是鈍角三角形
則大邊AB所對角∠ADB=∠ACB>90º
同樣將面ABC與面ABD展平成一個面，
此時ACBD是形平行四邊形，長對角
線AB>CD，已經衝突.若再折起面ABD
那麼CD與AB的差距將會更大.衝突
所以四個面都是銳角三角形.