如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DBC=∠A，OC⊥BD於點E. （1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BD=12，EC=10，求AD的長.

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠D=90°，∠A+∠ABD=90°.
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°.
∴AB⊥BC.
∴BC是⊙O的切線.
（2）∵OC⊥BD，
∴∠OEB=90°，
∴OE‖AD，
∴BE=ED=1
2BD=6.
∵∠BEC=∠D=90°，∠DBC=∠A，
∴△BEC∽△ADB，
∴BE
AD＝EC
DB，
∴6
AD＝10
12.
∴AD=7.2.

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DBC=∠A. （1）求證：BC與⊙O相切；（2）若OC‖AD，OC交BD於點E，BD=6，CE=4，求AD的長.

（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠D=90°，AD⊥BD.（1分）
∴∠A+∠ABD=90°.（2分）
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°.
∴OB⊥BC.（3分）
∵OB是半徑，
∴BC與⊙O相切.（4分）
（2）∵OC‖AD，∠D=90°，
∴∠OEB=∠D=90°.
∴OC⊥BD.（5分）
∴BE=DE=1
2BD=3.（6分）
∵BE⊥OC，∠OBC=90°，
∴△OBE∽△BCE.（7分）
∴OE
BE=BE
EC即OE
3=3
4，
∴OE=9
4.（9分）
∵OA=OB，DE=EB，
∴AD=2EO=9
2.（10分）

如圖所示，ab為半圓O的直徑，ad為弦，∠dbc=∠a，若oc垂直ad，oc交bd於e，bd=6，ce=4，求ad的長

因為OC平行AD角COB=角A因為角ADB和角CBO都是直角囙此三角形ADB和三角形COB相似設BC交AD於F三角形COB和三角形ABF相似因為O是AB中點所以E也是DB的中點

如右圖已知AB為圓O的直徑，半徑OC⊥AB，E為OB上一點，弦AD⊥CE交OC於點F，探索線段OE與OF的關係，說明理由

證明：設AD⊥CE交點G
∵公共∠A、OC⊥AB
∴△AOF∽△AEG
∴∠AFO=∠CEO
又∵∠AFO=∠CEO、OC⊥AB、OA=OC同為半徑
∴△AOF≌△CEO
∴OE=OF

ab為圓o的直徑，半徑oc垂直於ab，e為ob上一點，弦ad垂直於ce交oc於f，求證，oe=of

ad交ce於點m，三角形oce與三角形ame相似、三角形ame又與三角形afo相似（都用到有同一角與直角關係），所以三角形oce與三角形afo相似，而在兩三角形中，又有oc=oa=圓的半徑，所以兩三角形全等，全等三角形對應邊相等，所以of=oe

AB為⊙O的直徑，OC⊥AB，E為OB上的一點，弦AD⊥CE交OC於點F，求證OE=OF

設EC和AD交與點G.
因為AD⊥CE，OC⊥AB

如圖，在圓O中，半徑OC垂直於直徑AB，E，F分別在OA，OC上，且OE=OF，求證：CE⊥BF

證明：延長BF交CE於H
∵OC⊥AB
∴∠COA＝∠COB＝90
∴∠ECO+∠CEO＝90
∵OC＝OB、OE＝OF
∴△CEO≌△BFO（SAS）
∴∠FBO＝∠ECO
∴∠CHB＝∠FBO+∠CEO＝∠ECO+∠CEO＝90
∴CE⊥BF

如圖在圓O中半徑OA垂直於弦BC垂足為DOD=4 AD=1求BC和AB的長

連接OB
∵OA⊥BC
∴垂徑定理：BD=CD=1/2BC
∵OB=OA=AD+OD=1+4=5
∴OB²=BD²+OD²
5²=BD²+4²
那麼BD=3
∴BC=2BD=6
∴AB²=AD²+BD²=1²+3²=10
AB=√10

如圖，點A在圓O內，BC為弦，OD⊥BC於D，其中OA=8，AB=10，∠A=∠B=60°，則BD的長為？

延長AO交BC於E，⊿ABE是正三角形，OE=2，OD=√3，連OB
OB²=100+64-2×10×8÷2=84
BD²=OB²-OD²=84=3=81
BD=9

如圖，已知AD、BC交與點O，AB‖CD，OA=OD，求證：AB=CD 如圖，AB=AC，∠1=∠2，∠3=∠4，求證△ABE≌△ACD

AB‖CD，角ABC=角DCB，角BAD=角ADC，OA=OD
三角形AOB全等於三角形DOC，則AB=CD

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DBC=∠A，OC⊥BD於點E. （1）求證：BC是⊙O的切線； （2）若BD=12，EC=10，求AD的長.