如圖，AB平行CD，AD、BC交於O點，EF過點O分別交AB、CD於E、F，且AE=DF，求證：O是EF的中點

證明：因為AB平行CD
所以角A=角D
因為AE=DF
所以AE平行DF
所以角AEF=角DFE
因為{角A=角D AE=DF角AEO=角DFO
所以三角形AEO=三角形DFO（ASA）
所以EO=FO
所以O是EF的中點

根據切線定理可知EG²=ED*EC設EF與圓交於MN，（N點在AC弧上）∠ECB=1/2（BM弧度數+MD弧度數）∠EFD=1/2（AN弧度數+MD弧度數）由於AB平行於EF，而MN又在EF上，所以MN平行於AB，AN的弧長=BM的弧長，同一圓中弧長相等的弧…

1 DE平行AB DF平行AC
則AFDE為平行四邊形，故其對角線AD EF互相平分
2 DE平行AB
角EDC=ABC=ACD
故EC=ED=AF
AE=AC-EC=AB-AF=BF

因為AB=AC且D為BC中點所以∠BAD=∠CADAD垂直BC於D因為∠BDF=∠CDE則∠FDA=∠EDC因為∠BAD=∠CAD（已證）AD=AD則△FDA全等於△EDF則FA=EA則△AFE為等腰△且EF邊的高過D點（AD延長線垂直於EF），設AD延長線交EF於M則…

證明：因為DA平分角BAC
所以：角EAD=角FAD
又：DE||AC，DF||AB
所以：角EDA=角FAD；角FDA=角EAD
即：角EAD=角EDA；角FDA=角FAD
所以：EA=EB；FA=FD
又AEDF是平行四邊形，所以可以得出AEDF又是菱形.
即：AD垂直於EF

因為DE垂直於BC，所以角DEC=90°，因為角C=45°，所以角D=45°，所以DE=EC，
作BC的中點為G，連接GF，又因為F是AB的中點，所以FG是三角形ABC的中位線，所以EF=EG=3，因為BE=4，所以BG=7，所以GC=7，因為ED=EC，EF=EG，所以DF=GC=7

證明：過點D作DG‖BC交AB於G
∵AC＝BC
∴∠A＝∠ABC
∵DG‖BC
∴∠AGD＝∠ABC，∠GDF＝∠E，∠DGF＝∠EBF
∴∠A＝∠AGD
∴AD＝DG
∵AD＝BE
∴DG＝BE
∴△DGF≌△EBF（ASA）
∴DF＝EF
數學輔導團解答了你的提問，

弧BD=弧CD ∠BAD=∠CAD
即∠DAE=∠CAD
DE為圓O切線∠EDB=∠BCD ∠BDA=∠BCA
∠EDB+∠BDA=∠BCD+∠BCA
∠EDA=∠DCA
△AED∽△ADC
AE:AD=AD:AC
AD^2=AC*AE

（1）證明：連接OA，
∵A是BC弧的中點，
∴OA⊥BC.
∵AF‖BC，
∴OA⊥AF.
∴AF是⊙O的切線.
（2）∵∠BAE=DAB，∠ABE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB.
∴AB
AD=AE
AB.
∴AB2=AE•AD=12.
∴AB=2
3.

證明：在平行四邊形ABCD中，AD‖BC，
∴∠OBF=∠ODE
∵O為BD的中點
∴OB=OD
在△BOF和△DOE中，
∵
∠OBF＝∠ODE
OB＝OD
∠BOF＝∠DOE
∴△BOF≌△DOE
∴OF=OE
∵EF⊥BD於點O
∴DE=DF.