設橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2.點P（a，b）滿足PF2=F1F2. （1）求橢圓的離心率e；（2）設直線PF2與橢圓相交於A，B兩點，若直線PF2與圓（x+1）^2+（y-根號3）^2=16相交於M，N兩點，且MN=（5/8）AB，求橢圓的方程.

已知sin（π4−x）＝35，則sin2x的值為（）
A. 1925B. 1625C. 1425D. 725
法1：由已知得22（cosx−sinx）＝35，兩邊平方得12（1−sin2x）＝925，求得sin2x＝725；法2：令π4−x＝α，則sinα＝35，所以sin2x＝sin（π2−2α）＝cos2α＝1−2sin2α＝725.故選D
橢圓C的兩個焦點為F1、F2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF2|=4/3，|PF2|=14/3.求橢圓C的方程
糾錯，|PF1|=4/3
為了方便書寫，設m=|PF1|=4/3，n=|PF2|=14/3，設長軸為2a，焦距2c
∵是橢圓，∴m+n=2a，即a=（m+n）/2=3，a²；=9
∵m⊥F1F2
∴在RT△PF1F2中：m²；+（2c）²；=n²；，∴c²；=5
∴b²；=a²；-c²；=4
∴橢圓方程為x²；/9+y²；/4=1或者x²；/4+y²；/9=1
sin（45-x）=3/5，sin2x=？
sin（45°-x）=3/5
cos（45°+x）=3/5
兩式相乘sin（45°-x）cos（45°+x）=9/25
則（1/2）（sin90°-sin2x）=9/25
sin2x=1-18/25=7/25
7/25兩邊平方可求sinxcosx而sin2x=2sinxcosx
x45
sin（45-x）=3/5，cos（45-x）=-4/5 cos（90-2x）=sin（45-x）*sin（45-x）-cos（45-x）*cos（45-x）=7/25
sin2x=7/25
所以sin2x=7/25
設t=45-x
那麼有sin（t）=3/5
=>cos（2t）=1-2sin（t）^2=1-2*9/25=7/25
又cos（2t）=cos（90-2x）=sin（2x）
囙此sin（2x）=7/25
運用角的代換，可以避免複雜的運算，步驟如下：
sin（45-x）=3/5，cos（90-45+x）=sin（45-x）=3/5
即cos（45+x）=3/5，cos2*（45+x）=cos（90+2x）=-sin2x=2cos^2（45+x）--1=-7/25
即sin2x=+7/25
設橢圓x^2/16+y^2/b^2=1（4>b>0）的左，右焦點分別為F1，F2，點P（4，b）滿足|PF2|=|F1F2|.（1）求橢圓的方程.
（2）若直線PF2與圓（x+1）^2+（y^根號3）^2=16相交於M，N兩點求|MN|
（1）|F1F2|=2c，|PF2|=√[（4-c）²；+b²；]=√[（4-c）²；+a²；-c²；]；
按題意2c=√[（4-c）²；+a²；-c²；]，4c²；=4²；-8c+a²；；
將a=4代入解得c=2；b²；=16-2²；=12；故橢圓標準方程為x²；/16+y²；/12=1；
（2）座標F2（2,0）、P（4,2√3）；PF2所在直線方程：y=√3*（x-2）；
圓（x+1）²；+（y-√3）²；=16的半徑R=4，圓心座標（-1，√3）；
圓心到直線PF2的距離（弦心距）d=|y-√3（x-2）|/2=|√3-√3（-1-2）|/2=2√3；
∴|MN|=2√（R²；-d²；）=2√[4²；-（2√3²；）]=4；
已知sin（π4−x）＝35，則sin2x的值為（）
A. 1925B. 1625C. 1425D. 725
法1：由已知得22（cosx−sinx）＝35，兩邊平方得12（1−sin2x）＝925，求得sin2x＝725；法2：令π4−x＝α，則sinα＝35，所以sin2x＝sin（π2−2α）＝cos2α＝1−2sin2α＝725.故選D
橢圓C X^2/a^2+Y^2/b^2=1的左右焦點分別為F1，F2，點P（a，b）滿足PF2的絕對值=F1F2的絕對值.求橢圓的離心率e
cos（x-pai/4）=3/5，則sin（x+pai/4）
利用誘導公式
sin（x+π/4）
=sin[π/2-（π/4-x）]
=cos（π/4-x）
=cos（x-π/4）
=3/5
直線y-kx-1=0（k∈R）與橢圓x25+y2m=1恒有公共點，則m的取值範圍是；（）
A. m＞5B. 0＜m＜5C. m＞1D. m≥1且m≠5
直線y=kx+1恒過點（0，1），直線y=kx+1與橢圓恒有公共點所以，（0，1）在橢圓上或橢圓內∴0+1m≤1∴m≥1又m=25時，曲線是圓不是橢圓，故m≠25實數m的取值範圍為：m≥1且m≠25故選：D.
若直線Y=KX+2和橢圓X方+4Y方=4恒有公共點，則實數K的取值範圍
根據題意：方程組：y=kx+2 x²；+4y²；=4恒有解即：（4k²；+1）x²；+16kx+12=0△=0時，k=±√3/2，此時直線與橢圓相切又因為直線y=kx+2恒過點（0,2）所以k的…
直線y=代入橢圓方程。得到的x方程，化簡。得阿塔小於等於0時。K的範圍就出來了

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