既知の三角形の両側の長さはそれぞれ５と７であり、第３辺の正中線の長さｘの値は（） Ａ．２＜ｘ＜１２ Ｂ．５＜ｘ＜７ Ｃ１＜ｘ＜６ Ｄ．わからない

既知の三角形の両側の長さはそれぞれ５と７であり、第３辺の正中線の長さｘの値は（） Ａ．２＜ｘ＜１２ Ｂ．５＜ｘ＜７ Ｃ１＜ｘ＜６ Ｄ．わからない

ＡＤをＥに拡張し、ＡＤ＝ＤＥを
図のように、ＡＢ＝５、ＡＣ＝７、

ＢＣ＝２ａ，ＡＤ＝ｘ，
△ＢＤＥと△ＣＤＡでは、

ＡＤ＝ＤＥ
ＡＤＣ＝ＢＤＥ
ＢＤ＝ＣＤ，
△ＢＤＥ△ＣＤＡ，（ＳＡＳ）
ＡＥ＝２ｘ，ＢＥ＝ＡＣ＝７，
△ＡＢＥでは、ＢＥ－ＡＢ＜ＡＥ＜ＡＢ＋ＢＥ、すなわち７－５＜２ｘ＜７＋５、
１＜ｘ＜６．
故選Ｃ．

ＤＯＣ三角三辺はそれぞれ３と５で、三辺の中線の値は何ですか？

２

三角形のＡＢＣでは、ａ、ｂ、ｃはそれぞれＡ、Ｂ、Ｃの辺であり、ａ＝ルート番号３、ｂ＝３、Ｃ＝３０度であることが知られています。

コサイン定理ｃｏｓＣ＝（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／２ａｂ將ａ＝√３，ｂ＝３，Ｃ＝３０°代入上式，√３／２＝（３＋９－ｃ２）／６√３解之得，ｃ＝√３＝ａだから三角形ＡＢＣ是等腰三角形，Ｃ＝Ａ＝３０°［外］正弦定理ｃ／ｓｉｎＣ＝ｂ／ｓｉｎＢ＝ａ／ｓｉｎＡ將ａ＝ｃ＝√３，Ｃ＝３０°．．．

△ＡＢＣで知られている、ａ＝ ５，ｂ＝ １５，Ａ＝３０°，ｃ．

正弦定理によりｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎＡ
ａ＝
１５ｓｉｎ３０°

５＝
３
２，
ｂ＞ａ、
Ｂ＞Ａなので、Ｂ＝６０°または１２０°
（１）Ｂ＝６０°の場合、Ｃ＝９０°
ピタゴラスの定理によると：
ｃ＝
ａ２＋ｂ２＝２
５，
（２）Ｂ＝１２０°の場合、Ｃ＝Ａ＝３０°
ｃ＝ａ＝
５，
可知：ｃ＝
５または２
５
故答えはｃ＝
５または２
５

三角形ＡＢＣでは、Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ辺ａ、ｂ、ｃに対応し、既知（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）＝３ａｃ，ｔａｎＡ＋ｔａｎＣ＝３＋根号３ ＡＢ辺高は４根号３で、各角の度数と三辺の長さを求めます。

（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）＝３ａｃ，（ａ＋ｃ）＾２－ｂ＾２＝３ａｃ，ａ＾２＋ｃ＾２－ｂ＾２＝ａｃ，ｃｏｓＢ＝（ａ＾２＋ｃ＾２－ｂ＾２）／２ａｃ＝１／２，Ｂ＝π／３＝６０度．ｔａｎ（Ａ＋Ｃ）＝－ｔａｎＢ＝－√３，すなわち（ｔａｎＡ＋ｔａｎＣ）／（１－ｔａｎＡｔａｎＣ）＝（３＋√３）／（１－ｔａｎＡｔａｎＣ）＝－√３ｔａｎＡｔａｎＣ＝２＋√３．（１）ｔａｎＡ＋ｔａｎＣ＝３＋√３．（２）．．．

（２０１１•鄭州三模）△ＡＢＣでは、ｔａｎＡ＝１ ２，ｃｏｓＢ＝３ １０ １０、ｔａｎＣの値は（） Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ． ３ Ｄ．２

ｓｉｎＢ＝
１−ｃｏｓ２Ｂ＝
１０
１０，ｔａｎＢ＝ｓｉｎＢ
ｃｏｓＢ＝１
３
ｔａｎＣ＝ｔａｎ（１８０°－Ａ－Ｂ）＝－ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）＝－ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ
１−ｔａｎＡｔａｎＢ＝－１
故選Ａ