任意の実数ａ．ｂ　ａ２＋ｂ２＋４＼（ａ２＋ｂ２＋１）≥３不等式を証明し、どんな条件で等号を取るかを説明する

任意の実数ａ．ｂ　ａ２＋ｂ２＋４＼（ａ２＋ｂ２＋１）≥３不等式を証明し、どんな条件で等号を取るかを説明する

ａ２＋ｂ２＋［４／（ａ２＋ｂ２＋１）］≥３今！
ａ２＋ｂ２＋［４／（ａ２＋ｂ２＋１）］
＝ａ２＋ｂ２＋１＋［４／（ａ２＋ｂ２＋１）］－１
≥２√｛（ａ２＋ｂ２＋１）·［４／（ａ２＋ｂ２＋１）｝－１＝３
ａ２＋ｂ２＋１＝４／（ａ２＋ｂ２＋１）すなわちａ２＋ｂ２＝１時等号が成立する場合のみ

ｙ＝（２ｘ平方＋３）（３ｘ－２）の導関数は？

ｙ＝（２ｘ＾２＋３）（３ｘ－２）
求導：
＝４ｘ（３ｘ－２）＋３（２ｘ＾２＋３）
＝１２ｘ＾２－８ｘ＋６ｘ＾２＋９
＝１８ｘ＾２－８ｘ＋９

設ａ，ｂ，ｃ都是正數，求證：ｂｃ ａ＋ｃａ ｂ＋ａｂ ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ．

証明：２（ｂｃ
ａ＋ａｃ
ｂ＋ａｂ
＜ｕｎｋ１＞）
＝（ｂｃ
ａ＋ａｃ
ｂ）＋（ｂｃ
ａ＋ａｂ
ｃ）＋（ａｃ
ｂ＋ａｂ
ｂｃ）
ｃ≥２
ａｂｃ２
ａｂ＋２
ａｃｂ２
ｂａｃ＋２
ｃａ２
ｃｂｓ
＝２ｃ＋２ｂ＋２ａ，
ｂｃ
ａ＋ａｃ
ｂ＋ａｂ
ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ
ａ＝ｂ＝ｃの場合に限り、等号が成立する。

ａ，ｂは正の数であり、ルートａｂが２／（１／ａ＋１／ｂ）より大きいことを証明する（基本的な不等式で証明する）

ａ＋ｂ＞＝２√（ａｂ）
１／（ａ＋ｂ）０，ｂ＞０両側に２ａｂを同時に乗せる
２ａｂ／（ａ＋ｂ）

ａｂ＝０を設定し、基本的な不等式を利用して以下の証明（ｂ／ａ）＋（ａ／ｂ）＝（ｂ＾２＋ａ＾２）／ａｂ≥２ａｂ／ａｂ＝２を持つ。

（ａ－ｂ）２≥０
ａ２＋ｂ２－２ａｂ≥０
ａ２＋ｂ２≥２ａｂ
（ａ２＋ｂ２）／ａｂ≥２ａｂ＝０
ａ／ｂ＋ｂ／ａ≥２
（ｂ／ａ）＋（ａ／ｂ）＝（ｂ＾２＋ａ＾２）／ａｂ≥２

不等式の証明｜ａ＋ｂ｜／１＋｜ａ＋ｂ｜

証明：［法１］１、設｜ａ＋ｂ｜＝０
則，｜ａ｜＋｜ｂ｜｜ａ＋ｂ｜＞０
したがって、１／｜ａ｜＋｜ｂ｜）《１／｜ａ＋ｂ｜
だから、１／（｜ａ｜＋｜ｂ｜）＋１《１／｜ａ＋ｂ｜＋１
所以，（１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜）／（｜ａ｜＋｜ｂ｜）《（１＋｜ａ＋ｂ｜）／｜ａ＋ｂ｜
所以，上式倒來得：，（｜ａ｜＋｜ｂ｜）／（１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜）｜ａ＋ｂ｜／（１＋｜ａ＋ｂ｜）
即：｜ａ＋ｂ｜／１＋｜ａ＋ｂ｜