ｘ－ｙ＝６，ｙ－ｚ，ｘの２乗＋ｙの２乗＋ｚの２乗－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ

ｘ－ｙ＝６，ｙ－ｚ，ｘの２乗＋ｙの２乗＋ｚの２乗－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ

ｘ－ｙ＝６，ｙ－ｚ＝１１
（ｘ－ｙ）２＝ｘ２＋ｙ２－２ｘｙ＝３６
（ｙ－ｚ）２＝ｙ２＋ｚ２－２ｙｚ＝２５
（ｘ－ｚ）２＝ｘ２＋ｚ２－２ｘｚ＝１２１
上の３つの式を加算する
ｘ２＋ｙ２－２ｘｙ＋ｙ２＋ｚ２－２ｙｚ＋ｘ２＋ｚ２－２ｘｚ＝１８２
で割った２
ｘ２＋ｙ２＋ｚ２－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＝９１

１／Ｘ＋１／Ｙ＝１／２、１／Ｙ＋１／Ｚ＝１／３、１／Ｚ＋１／Ｘ＝１／４、ＸＹＺ／ＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸの値

１／Ｘ＋１／Ｙ＝１／２、
１／Ｙ＋１／Ｚ＝１／３、
１／Ｚ＋１／Ｘ＝１／４、
１／Ｘ＋１／Ｙ＋１／Ｚ＝１／２＊（１／２＋１／３＋１／４）＝１３／２４
ＸＹＺ／ＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸ＝１／（１／Ｚ＋１／Ｘ＋１／Ｙ）＝２４／１３

実数ｘ，ｙ，ｚがｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１かつｘ＋ｙ＋ｚ＝０であれば、実数ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘの値の範囲は

（Ｘ２＋Ｙ２）＋（Ｘ２＋Ｚ２）＋（Ｙ２＋Ｚ２）＝２またＸ２＋Ｙ２＞＝２ｘｙ，ｘ２＋ｚ２＞＝２ｘｚ，ｙ２＋ｚ２＞＝２ｙ＋ｚ２＞＝２ｙｚだから（Ｘ２＋Ｙ２）＋（Ｘ２＋Ｚ２）＋（Ｙ２＋Ｚ２）＞＝２（ｘｙ＋ｘｚ＋ｙｚ）すなわち２＞＝２（ｘｙ＋ｘｚ＋ｙｚ）だからｘｙ＋ｘｚ＋ｙｚ

実数ｘ，ｙ，ｚがｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１でｘ＋ｙ＋ｚ＝０であれば、ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘの範囲は

（ｘ＋ｙ）２＋（ｙ＋ｚ）２＋（ｘ＋ｚ）２＝２（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＋ｘｙ＝ｙｚ＝ｚｘ）＝（－ｚ）２＋（－ｘ）２＋（－ｙ）２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１、すなわち２（１＋ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝１，ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝－１／２．（二乗がどのようにヒットするかわからないので、そのうちの１つだけが２であることを理解してください）

ｘｙｚは正実数であり、ｘｙ＋ｙｚ／ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２の最大値を求める。

平均不等式，ｘ，ｙ，ｚは正実数であり，
ｘ＾２＋（ｙ＾２）／２≥ｘｙ√２．１（等号成立ｘ＾２＝（ｙ＾２）／２
（ｙ＾２）／２＋ｚ＾２≥ｙ　ｚ√２．２（等号成立（ｙ＾２）／２＝ｚ＾２
①＋②だ
ｘ＾２＋ｙ＾２／２＋ｙ＾２／２＋ｚ＾２≥ｘｙ√２＋ｙｚ√２＝√２（ｘｙ＋ｙｚ）
だから
（ｘｙ＋ｙｚ）／（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）≤１／√２＝（√２）／２
したがって、ｘ＾２＝（ｙ＾２）／２＝ｚ＾２、すなわちｘ＝（√２）ｙ／２＝ｚの場合に限り、（ｘｙ＋ｙｚ）／（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）の最大値を取得する（√２）／２

実数ｘ，ｙ，ｚに対して１＋｜ｘ＋ｙ＋ｚ｜＋｜ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ｜＋｜ｘｙｚ｜＋｜ｃ（－｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜）が存在することを証明する。

１＋｜ｘ＋ｙ＋ｚ｜＋｜ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ｜＋｜ｘｙｚ｜＞０
且ｃ（－｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜）＞０
ｃを取る