在△ABC內部或邊界上任取一點P,記P到三邊a,b,c的距離依次為x,y,z.求證:ax+by+cz是一個常數.

在△ABC內部或邊界上任取一點P,記P到三邊a,b,c的距離依次為x,y,z.求證:ax+by+cz是一個常數.

證明:如圖,連接PA,PB,PC,把△ABC分成三個小三角形,則S△ABC=S△PAB+S△PCB+S△PCA=12cz ;+12ax+12by所以ax+by+cz=2S△ABC,即ax+by+cz為常數.說明若△ABC為等邊三角形,則x+y+z=2S△ABCa=h此即正三角形內一點到三邊的距離和為常數,此常數是正三角形的高.