∫（上限1，下限-1）（2-x^2）^（3/2）dx

∫（上限1，下限-1）（2-x^2）^（3/2）dx

積分：（2-x^2）^（3/2）dx
=x（2-x^2）^（3/2）-積分：xd（2-x^2）^（3/2）
=x（2-x^2）^（3/2）-積分：x（-2x）*3/2*（2-x^2）^（1/2）dx
=x（2-x^2）^（3/2）+3積分：x^2（2-x^2）^（1/2）dx
現在求：積分：x^2（2-x^2）^（1/2）dx
令：x=根號（2）*cost，t[0，pi/2]
t=arccos（根號（2）*x/2）
所以：
積分：x^2（2-x^2）^（1/2）dx
=積分：2（cost）^2*根號（2）sint*根號（2）*（-sint）dt
=-4積分：（sintcost）^2dt
=-積分：（sin（2t））^2dt
=積分：（cos（4t）-1）dt
=1/4sin4t-t+C
x[0,1]
t[pi/2，pi/4]
該定積分為：
pi/4
積分上下限是：（0,1）
定積分為：
=x（2-x^2）^（3/2）+3積分：x^2（2-x^2）^（1/2）dx
=x（2-x^2）^（3/2）|（0,1）+3*pi/4
=1+3pi/4
因為被積函數是偶函數，所以最後的定積分為：
I =2*（1+3pi/4）
=2+3pi/3

一道求定積分的題目！
∫1/（1+sinx），（上限是π/4，下限是0）

∵1/（1+sinx）=1/[sin²；（x/2）+cos²；（x/2）+2sin（x/2）cos（x/2）]
=1/[sin（x/2）+cos（x/2）]²；
=sec²；（x/2）/[1+tan（x/2）]²；
∴原式=∫（0，π/4）sec²；（x/2）/[1+tan（x/2）]²；dx
=2∫（0，π/4）d（1+tan（x/2））/[1+tan（x/2）]²；
={-2/[1+tan（x/2）]}|（0，π/4）
=2-√2