已知關於x的一元二次方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的兩個根均為整數，求所有滿足條件的實數k的值.

已知關於x的一元二次方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的兩個根均為整數，求所有滿足條件的實數k的值.

原方程可化為：[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0.因為此方程是關於x的一元二次方程，所以，k≠6，k≠9，於是有：x1=96−k①，x2=69−k②.由①得k=6x1−9x1，由②得k=9x2−6x2，∴6x1−9x1=9x2−6x2，整理得x1x2-2x1+ 3x2=0，有（x1+3）（x2-2）=-6.∵x1、x2均為整數，∴x1+3＝−6，−3，−2，−1，1，2，3，6x2−2＝1，2，3，6，−6，−3，−2，−1.故x1=-9，-6，-5，-4，-2，-1，0，3.又k=6x1−9x1=6-9x1，將x1=-9，-6，-5，-4，-2，-1，3分別代入，得k=7152395334212，15，3.

已知關於x的一元二次方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的兩個根均為整數，求所有滿足條件的實數k的值.

原方程可化為：[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0.因為此方程是關於x的一元二次方程，所以，k≠6，k≠9，於是有：x1=96−k①，x2=69−k②.由①得k=6x1−9x1，由②得k=9x2−6x2，∴6x1−9x1=9x2−6x2，整理得x1x2-2x1+3x2…

b^2-4ac=k^2-8，當k為何值時，方程有兩個不相等的實數根
，2.有兩個相等的實數根，3.有實數根4.無實數根

∵⊿＝b²；－4ac＝k²；－8
（1）有兩個不相等的實數根∴⊿＞0∴k²；＞8∴k＞2√2或k＜－2√2
（2）有兩個相等的實數根∴⊿＝0∴k²；＝8∴k＝±2√2
（3）有實數根∴⊿≥0∴k²；≥8∴k≥2√2或k≤－2√2
（4）無實數根∴⊿＜0∴k²；＜8∴－2√2＜k＜2√2

直接寫出下列方程的根：4x-1=0:_____直接寫出下列方程的根：x的平方-2x-3=0:______

直接寫出下列方程的根：4x-1=0:__x=1/4___直接寫出下列方程的根：x的平方-2x-3=0:__x=3，x=-1____

已知兩點A（0，1），B（2，m），如果經過A與B且與x軸相切的圓有且只有一個，求m的值及圓的方程.

設圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=b2，則有a2+（1-b）2=b2（2-a）2+（m-b）2=b2，消y得：（1-m）a2-4a+4+m2-m=0，（3分）m≠1時，由△=0得：m（m2-2m+5）=0，所以m=0m=1時，a=1，所以b=1，方程為（x-1）2+（y-1）2= 1-（5分）從而a=2，b=52，方程為（x-2）2+（y-52）2=254故m=1時，圓的方程為（x-1）2+（y-1）2=1，m=0時，圓的方程為（x-2）2+（y-52）2=254.（10分）

1過點A（0,1）和B（4，m），並且與X軸相切有且只有一個，求m的值及此時對應圓的方程.

設圓心O（A，B）圓的方程為：（X—A）平方+（Y—B）平方=R平方.
因為於X軸相切，則R=1，即有：（X—A）平方+（Y—B）平方=1把點（0,1），（4，M）代入方臣，
有：（0—A）平方+（1—B）平方=1
（4—A）平方+（M—B）平方=1解得：M=

已知函數y=x2+（m+4）x-2m-12的圖像與x軸交於兩點且都在點（1，0）右側，則m的取值範圍是______.

若A、B兩點都在直線x=1的右側，設A（a，0）、B（b，0），則a＞1，b＞1，則有（a−1）+（b−1）＞0（a−1）（b−1）＞0，解之得：m＞4，由△＞0知，m＞20，故答案為：m＞20.

y=x平方+（m+4）x-2m-12與x軸交於2點，都在點（1,0）的右側，求實數m的取值範圍

y=x^2+（m+4）x-2m-12
=[x+（m+6）]（x-2）
令y=0，
解出，x1=2，x2=-m-6
∵函數與x軸交於2點，都在點（1,0）的右側
∴-m-6>1
∴m

設點P到點（-1，0）、（1，0）距離之差為2m，到x、y軸的距離之比為2，求m的取值範圍.

設點P的座標為（x，y），依題設得|y||x|＝2，即y=±2x，x≠0囙此，點P（x，y）、M（-1，0）、N（1，0）三點不共線，得||PM|-|PN||＜|MN|=2∵||PM|-|PN||=2|m|＞0∴0＜|m|＜1囙此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2|m|的雙曲線上，故x2m2−y21−m2＝1.將y=±2x代入x2m2−y21−m2＝1，並解得x2＝m2（1−m2）1−5m2≥0，因為1-m2＞0，所以1-5m2＞0，解得0＜|m|＜55，即m的取值範圍為（−55，0）∪（0，55）.

已知過點A（0，1），B（4，a）且與x軸相切的圓只有一個，求a的值及所對應的圓的方程.

分兩種情况考慮：（i）設圓心座標為（x，y），當B點為切點時，B在x軸上，所以a=0.則B（4，0），所以AB的中點座標為（2，12），直線AB的斜率為1−00−4=-14，則AB中垂線的斜率為4，所以AB中垂線的方程為y-12=4（x-2）與x=4聯立解得x=4，y=172，所以圓的方程為：（x-4）2+（y−172）2=（172）2；（ii）當a=1時，AB與x軸平行，則AB的中垂線方程為x=2，設圓心座標為（2，y），根據畢氏定理得：y2=22+（y-1）2，解得y=52，所以圓的方程為：（x-2）2+（y−52）2=（52）2.綜上：當a=0時，相對應的圓的方程為：（x-4）2+（y−172）2=（172）2；當a=1時，相對應的圓的方程為：（x-2）2+（y−52）2=（52）2.