三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側棱AA1垂直底面ABC，點E，F分別是棱CC1，BB1上的點且EC=2FB=2，點M是線段AC的中點，求BM與EF所成角的餘弦值

三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側棱AA1垂直底面ABC，點E，F分別是棱CC1，BB1上的點且EC=2FB=2，點M是線段AC的中點，求BM與EF所成角的餘弦值

由題中ABC為正三角形，棱AA1垂直底面ABC可知是正三棱柱M是AC的中點，所以BM垂直於AC（等邊三角形的高，中線）正三棱柱側面與底面垂直，所以BM垂直於面ACA1C1內的任一直線.過B作EF和平行線交CC1於H，同時CC1//BB1（三棱柱棱互…

斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長為a的正三角形，側棱長為 b，側棱AA′與底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角，求此三棱柱的側面積和體積.

（1）∵側棱AA′與底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角，∴三棱柱的三個側面中，四邊形ABBA和ACCA是有一個角是45°，相鄰兩邊長分別為a，b的平行四邊形，第三個側面是邊長分別為a，b的矩形.∴s側= 2absib45°+ab=（2+1）ab（2）過A1作A1O垂直於底面ABC，交底面ABC於O點，作A1D⊥AB，交AB於D點，連接DO，由題意，則AD=2b2，A1D=2b2，∴AO=6b3，A1O=3b3∴V=12×3a2a3b3=14a2b

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為a的正三角形，側棱長為b，AA1與AB，AC都成θ角，求三棱柱的側面積.

取BC中點D，則BC⊥AD，AD是AA1在面ABC的射影，則BC⊥AA1，BC⊥BB1，
三棱柱的側面積S=A1ABB1的面積S1+A1ACC1的面積S2+B1BCC1的面積S3=2absinθ+ab

點P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側棱BB1上一點，PM垂直於BB1交AA1於點M，PN垂直於BB1交CC1於點N
1求證：CC1⊥MN
2在任意△DEF中有余弦定理：DE^2=DF^2+EF^2-2DF*EFCOS∠DFE
擴展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關係式，並予以證明

1，BB1⊥PM.BB1⊥PN，∴BB1⊥平面PMN.∵CC1‖BB1∴CC1⊥平面PMN.CC1⊥MN.
2 NM²；＝PN²；+PM²；-2PN×PM×cos∠MPN①
注意∠MPN是二面角A-BB1-C的平面角，①式兩邊同乘BB1²；，得到：
[S（ACC1A1）]²；＝[S（BCC1B1）]²；+[S（ABB1A1]²；
-2[S（BCC1B1）]×[S（ABB1A1]cos[二面角A-BB1-C].