已知正方體ABCD-A'B'C'D'棱長為a求：A'B和B'C的夾角A'B垂直AC'

已知正方體ABCD-A'B'C'D'棱長為a求：A'B和B'C的夾角A'B垂直AC'

1.連結A'D
因為A'B'//CD且A'B'=CD，所以：
四邊形A'B'CD是平行四邊形
那麼：A'D//B'C
所以∠BA'D就是A'B與B'C所成的夾角
由於面對角線A'B=A'D=BD，所以：三角形A'BD是等邊三角形
那麼：∠BA'D=60°
即A'B與B'C所成的夾角為60°.
2.證明：連結AB'
在正方形ABB'A'中，易知：A'B⊥AB'
又B'C'⊥平面ABB'A'且A'B在平面ABB'A'內
所以：B'C'⊥A'B
這就是說A'B垂直於平面AB'C'內的兩條相交直線AB'.B'C'
所以由線面垂直的判定定理可得：
A'B⊥平面AB'C'
又AC'在平面AB'C'內，所以：
A'B⊥AC

已知：正方體ABCD-A“'B'C'D'的棱長為m，求：（1）A'B和B'C的夾角；（2）求證A'B⊥AC'

連接D‘C和D’B‘
則：D‘C//A’B且D‘C=A’B
而D‘C、B‘C、D'B'都是這個正方體重正方形面的對角線
∴△D’B‘C是等邊三角形，即∠D’CB‘= 60°
即：A'B和B'C的夾角= 60°
（2）證明：連接DC’和AB‘
∵C’B‘⊥面AB’∴C‘B’⊥A‘B
A’B和AB‘是正方形ABB’A‘的兩條對角線，∴A’B⊥AB‘
∴A'B⊥面AB'C'D
∴A’B⊥AC‘