求證2的5n次方减一的值能被31整除

求證2的5n次方减一的值能被31整除

因為2^5n-1=（2^5）^n-（1）^n=（2^5-1）[（2^5）^（n-1）+……+1^（n-1）]=31*[（2^5）^（n-1）+……+1^（n-1）]
囙此可以被31整除
有不懂歡迎追問

證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln（n+1）+n/2（n+1）
不要用搆造函數，用定積分來做.

參攷下圖：① ；ln（n+1）= ；∫{1，n+1} 1/x dx是曲線y = 1/x下在x軸上方x = 1與x = n+1之間的面積.② ；1+1/2+1/3+…+1/n是n個矩形的面積和，完全包含了①中的面積.③從②中除去①後，剩餘n個"；曲邊三角…

用數學歸納法證明（1+2+3+n）（1+1/2+1/3+.1/n）≥n2+n-1
對大於2的一切正整數n，下列不等式都成立
（1+2+3+………+n）（1+1/2+1/3+……..1/n）≥n的平方+n-1

（1）n=3
左=（1+2+3）（1+1/2+1/3）=6*（1+1/2+1/3）=6+3+2=11
右=3*3+3-1=11
所以，n=3時不等式成立
（2）假設n=k（k≥3）時，不等式成立
即（1+2+3+.+k）（1+1/2+.+1/k）≥k²；+k-1
當n=k+1時，
左=[1+2+3+.+k+1/（k+1）]*[1+1/2+.+1/k+1/（k+1）]
=（1+2+3+.+k）（1+1/2+.+1/k）+（1+2+3+.+k）*（1/k+1）+（k+1）*[1+1/2+.+1/k+1/（k+1）]
≥k²；+k-1+k（k+1）/2*（1/k+1）+（k+1）[1+1/2+1/（k+1）]
=k²；+k-1+k/2+k+1+（k+1）/2+1
>k²；+k-1+k/2+k+1+k/2+1
=k²；+3k+1
=（k+1）²；+（k+1）-1
所以n=k+1時，不等式也成立
所以對大於2的一切正整數n，不等式都成立

12+22+32+42……+（n-1）2+n2=？是平方，一的平方加二的平方一直加到n方

=n（n+1）（2n+1）/6