能被7整除的數的規律

能被7整除的數的規律

若一個整數的個位數位截去，再從餘下的數中，减去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相减、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止.例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數；又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數，餘類推.
對於整數N=ma=10*m+a；a為個位.若m-2a=7b，即可以被7整除.
因為：
m-2a=7b
m=7b+2a
N=10*m+a
=10（7b+2a）+a
=70b+21a
=7*（10*b+3a），即N可被7整除.

求證：1+2+2^2+2^3+…+2^（5n-2）能被31整除（n∈N）

不是5n-2是5n-1.
1+2+2^2+2^3+…+2^（5n-1）
=2^5n-1
=32^n-1
=（31+1）^n-1
=31^n+C（n，1）31^（n-1）+C（n，2）31^（n-2）+…+C（n，n-1）31+1-1
=31^n+C（n，1）31^（n-1）+C（n，2）31^（n-2）+…+C（n，n-1）31
顯然是31的倍數.

求證：1+2+2^2+……+2^（5N--1）能整除31 N為自然數

這道題我覺得可以用二進位來證
31化為二進位是11111
1+2+2^2+……+2^（5N--1）化為二進位是（11111…1）5N個1；
顯然後者能够整除前者