請問：1.導數與微分積分的關係2.微分與積分的關係3.導數與概率的關係4.概率密度與分佈函數的關係 概率的相關知識！最好意思說明白點我這人很笨~

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函數相對於白變數變化的快慢程度，通常叫做函數的變化率
導數是在研究變化率問題中產生的概念.囙此，我們先討論變化
率問題，從而引出導數概念.
一、變化率問題舉例
2.運動物體的暫態速度
速度這個概念是我們經常遇到的，例如在步行時，每小時5公
裏，步行的速度就是5公里／／J、時；又如某輛汽車在3個小時內共
行駛120公里，它的速度就是半＝40（公里／小時），這些都是平均
速度，它在一定程度上反映了物體的運動.但是，還不能說明這輛
汽車在哪些時刻開得快，哪些時刻開得慢，以及快多少慢多少.
科學的發展，不僅需要計算平均速度，還要計算任何一個時刻
的暫態速度，如何求暫態速度呢？
現在我們設一物體作變速直線運動，其運動方程為5；5（*），
其中5表示路程，c表示時間，求物體在‘：“o時刻的暫態速度
p（cD）—
我們知道，當時間由‘.變到‘.*4f時，物體在這段時間內所
經過的路程為
45＝5（co十Af）—5（20），
囙此這段時間內物體運動距離對時間的平均變化率，即平均速度
為
—A5 5（『o？』2）一5（6.）
’一A6一叢f·
當Ac很小時，可以用；近似地表示物體在‘o時刻的速度
越小，；也就越接近於”（‘o）.囙此，當db—o時，；的極陽
在‘o時刻的暫態速度，即
u（c.，；織釜＝熾LLlJ宅產LJLLJ
2.總成本的變化率
設某產品的總成本c是產量x的函數，記為c＝c（s），求產
量為2＝“o時，總成本對產量的變化率.
我們知道，當產量由‘.改變到“.tdX時，總成本的相應改變
量為
dC＝C（“o十dK）一C（”o），
囙此，產量由“o改變到50*dK時，總成本對產量的平均變化率為
4C—511Ji坐上JLl型
d6—dw’
當dK—o時，上式的極限就是總產量為“.時，總成本對產量的變
化率（經濟學中稱其為邊際成本，並記為肥），即
W＝Hm癸：HmLLJlL學JLLJAJ
A』‘u LD APN山
以上兩例的實際意義不同.但解决問題的思路相同，都是求函
數在某一點的變化率，其數學形式都歸結為計算函數的改變量
（Ay）與引數的改變量（dX）之比值（哭）的極限（當d6一o時），
我們稱這種特定形式的極限為函數y＝八“）的導數.
：、導數定義
定義3.1設函數2＝／（z）在點.o的某鄰域內有定義
變數在Ko取得改變量dw時，函數取得相應的改變量
A7＝／（xD？A5）—八“.）.
如果當叢利時，Ay與A 2之比的極照
把會＝織L11J宅戶LJl4
存在，則稱函數八2）在點x.處可導，並稱此極限值為函數八“）在
點“o處的導數.記為／’（xo），即
／’‘Ko）＝央盅；織L14J令產LJLl4
導數／’（“o）也可記為
JK—《.5vd2,5t塹墜JL
7M—Xo礬dZI’：、礬dK
如果令“＝“o十此，則當此一0時，x—x.
的定義又可表示為
4v1—f／*.1
／’（xo）＝塊丹個·（:.z）
函數八x）在點“o可導有時也說成八x）在點：o具有導數或
導數存在，“o稱為可導點.如果極限（3.1）不存在，就說八x）在點
Xo不可導；如果不可導的原因是由於此一.時，盅一.，為了方
便起見，也說函數八2）在點“o的導數為無窮大，並記為／’（“o）＝
Hm92＝M.

解方程（x2+y2）dy/dx=2xy

可能上面微分方程中的x2是x^2，y2是y^2.如果是這樣，將變數x，y用下列方法換成p和t的函數：
令x=pcos（t），y=psin（t）
即可將上面所給微分方程轉化成下列形式的微分方程：
dp/p=f（cos（t），sin（t））dt
由於f（cos（t），sin（t））有點複雜，沒有寫出.但f（cos（t），sin（t））dt是一個可積函數.將此方程的兩邊同時積分後，再將p，cos（t）和sin（t）換回到x和y即可得最後解.
或許還有其他更簡單的方法.

求dy/dx=x+x^2/y+y^2，y（0）=1的特解

dy/dx=（x+x^2）/（y+y^2）
（y+y^2）dy=（x+x^2）dx
y^2/2+y^3/3=x^3/3+x^2/2+C
x=0，y=1
1/2+1/3=C
5/6=C

求dy/dx-（1/x）y=2x^2的通解

∵dy/dx-（1/x）y=2x^2 ==>dy-ydx/x=2x^2dx ==>dy/x-ydx/x^2=2xdx（等式兩端同除x）==>d（y/x）=d（x^2）==>y/x=x^2+C（C是常數）==>y=x^…

dy/dx+（1-2x/x^2）＊y=1的通解

y=（1-x）（1-2x）=2x^ 2-3x+1dy/dx=y'=2*2x+3=4x+3dx分之dy即是y的導數.

求dy/dx+（1-2x/x^2）y=1的通解

用待定係數法
dy/dx+（1-2x/x^2）y=1
齊次方程解為
y*=Cx^2*e^（1/x）
通解為
y=[e^（-1/x）+C]*x^2*e^（1/x）

dy/dx=ycosx/1+y2，y（0）=1，求微分方程.

dy/dx=ycosx/1+y2
所以
（1+y2）dy/y=cosxdx
（1/y+y）dy=cosxdx
所以y^2/2+lny=sinx+c
帶入y（0）=1得到
c=1/2
所以得到
y^2+2lny=2sinx+1

求解一個線性微分方程（dy/dx）-2xy=xe^（-x^2）

通解是y=e^（x^2）（（-1/4）e^（-2x^2）+c）

dy/dx=[xe^（x^2）]/[（1/2）e^y]，這個微分方程怎麼解

分離係數e^ydy=e^（x^2）dx^2
e^y=e^（x^2）+c

u=arctan（x-y）^z偏導數
u/z只求關於Z的求導，

這個簡單，你把x，y看成常數對z求導即可
偏（u/z）=（x-y）^z*ln（x-y）/（1+（x-y）^（2z））