證明數列√2，√（2+√2），√（2+√（2+√2）），.收斂，並求其極限

證明數列√2，√（2+√2），√（2+√（2+√2）），.收斂，並求其極限

1，先證數列遞增
數列遞增顯而易見，也可以用第二數學歸納法證明這個數列遞增
因為a1=√2

證明數列收斂，並求極限
設a > 0，0 < X1< 1/a，X n+1= X n（2 - a * X n）（n=1,2，…）.證明｛X n｝收斂，並求lim（n→0）Xn.

Xn+1=Xn×（2-a*Xn）=-a×（Xn-1/a）²；+1/a
→（1/a-Xn+1）=a×（1/a-Xn）²；
令Yn=1/a-Xn，則Yn+1=a×Yn²；（Y1=1/a-X1，n≥2）
∴Yn+1=a^（2*n-1）×Y1^（2*n）=1/a×（a*Y1）^（2*n）
∴Xn+1=1/a-1/a×（a*Y1）^（2*n）
∵Y1=1/a-X1，即，0＜Y1＜1/a
∴0＜a*Y1＜1
∴0＜（a*Y1）^（2*n）＜1
∴0＜Xn+1＜1/a
當n→+∞時，（a*Y1）^（2*n）→0，Xn+1→1/a

誰能跟我系統地講一下數列的放縮法，

放縮法其實是不等式裏的方法，所謂的數列中的放縮法就是證明數列不等式的一種技巧.
比如要證明數列∑an＜a，可以先尋找∑bn＜a，找到滿足條件的bn，證明an＜bn，從而證明出∑an＜a的過程就是數列的放縮法.