lim(x→0)(x^2)[e^{(1/x^2) }]用洛必達法則求極限

lim(x→0)(x^2)[e^{(1/x^2) }]用洛必達法則求極限

令1/x^2=t ,那麼t趨於正無窮
lim(x→0)(x^2)[e^{(1/x^2) }]
= lim(t→正無窮)e^t/t （羅比達法則：）
=lim(t→正無窮)e^t
=正無窮

當x趨向於負無窮大時 e的1/x次方的極限是多少 我算出來是1但好像應該是0

令e^(1/x)=y
lny=1/x
當X趨於負無窮,右邊為0,所以y=1 ,或者e^(1/x)=n√e,即e開n次方,則當n趨於無窮時,為1.

(1+2/x)的x次方的極限,x趨向無窮大,等於多少?

令1/a=2/x
則a→∞
x=2a
原式=lim(a→∞)(1+1/a)^2a
=lim(a→∞)[(1+1/a)^a]²
=e²

極限lim x趨向於0 （1-1/x）的x次方.如何求解?

不需要洛必達法則
因為兩個重要極限中有
lim x趨向於0 （1+1/x）的x次方=e
又lim x趨向於0 （1+1/x）的x次方*（1-1/x）的x次方=1
所以lim x趨向於0 （1-1/x）的x次方=1/e

lim(x+e的x次方)的1/x次方=什麼 x趨於0

y=(x+e^x)^(1/x)
lny=ln(x+e^x)/x
這是0/0型,可以用洛比達法則
分子求導=1/(x+e^x)*(1+e^x)=(1+e^x)/(x+e^x),極限是(1+1)/(0+1)=2
分母求導是1
所以x趨於0,lny=ln(x+e^x)/x極限是2
所以圓極限=e²

求極限lim[(1+x)的1/x次方,除以e]的1/x次方,當x趨於0時.

設A = (1+x)^(1/x^2) / e^(1/x)
則 lim ln A =lim ln(1+x)/x^2 - 1/x
= lim [ ln(1+x) -x ] /x^2
= -1/2 (洛比達法則)
所以lim A = e^(-1/2)

求Lim(x→0)(sinx/x)^(cosx/1-cosx)

y=(sinx/x)^(cosx/1-cosx)
lny=(cosx(lnsinx-lnx)/(1-cosx)
limlny=lim(cosx(lnsinx-lnx)/(1-cosx)=lim(lnsinx-lnx)/(1-cosx)=lim(cosx/sinx-1/x)/sinx=lim(xcosx-sinx)/x^3=lim(cosx-xsinx-cosx)/3x^2=-1/3
limy=e^(-1/3)

極限lim(x-sinx)/[x(1-cosx)] 其中x趨向於0

lim(x→0)(x-sinx)/[x(1-cosx)]
=lim(x→0)(1-cosx)/[(1-cosx)+xsinx] 羅必塔法則
=lim(x→0)sinx/[sinx+sinx+xcosx]
=lim(x→0)sinx/[2sinx+xcosx]
=lim(x→0)1/[2+xcosx/sinx]
=lim(x→0)1/lim(x→0)[2+xcosx/sinx]
=1/[2+1]
=1/3
附加說明：
lim(x→0)xcosx/sinx
=lim(x→0)[cosx-xsinx]/cosx
=[1-0]/1
=1

lim[(1-cosx)^1/2]/sinx,x趨於0,求極限

用等價無窮小替換
原式=lim(x→0)√(2sin^2(x/2))/sinx
=lim(x→0)√2|sin(x/2)|/sinx
因為右極限為lim(x→0+)√2*sin(x/2)/sinx=lim(x→0)√2*(x/2)/2=√2/2
類似地,左極限為-√2/2
所以極限不存在.

求下列函式極限：lim(sinx^3)/[x(1-cosx)],(x→0)

lim(sinx^3)/[x(1-cosx)],(x→0)
=lim(sinx^3)（1+cosx）/[x(1-cosx)（1+cosx)],(x→0)
=lim(1+cosx)*lim[sinx/x],(x→0)
=1+1=2