如圖1，△ABC內接於⊙O，AD平分∠BAC，交直線BC於點E，交⊙O於點D． （1）過點D作MN∥BC，求證：MN是⊙O切線； （2）求證：AB•AC=AD•AE； （3）如圖2，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延長線於點E，EA的延長線交⊙O於點D．結論AB•AC=AD•AE是否仍然成立？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．

如圖1，△ABC內接於⊙O，AD平分∠BAC，交直線BC於點E，交⊙O於點D． （1）過點D作MN∥BC，求證：MN是⊙O切線； （2）求證：AB•AC=AD•AE； （3）如圖2，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延長線於點E，EA的延長線交⊙O於點D．結論AB•AC=AD•AE是否仍然成立？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．

證明：（1）連線OD交BC於點H，
∵AD平分∠BAC，
∴

BD＝

CD．
∴OD⊥BC於H．
∵BC∥MN，
∴OD⊥MN於點D．
∴MN是⊙O的切線．
（2）連線CD，
∵∠ABE=∠ADC，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC．
∴AB
AE＝AD
AC．
∴AB•AC=AD•AE．
（3）結論AB•AC=AD•AE仍然成立．
連線BD，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE=∠CAE．
∴∠CAE=∠FAE=∠BAD．
∵四邊形ADBC是圓內接四邊形，
∴∠ACE=∠BDA．
∴△AEC∽△ABD．
∴AE
AC＝AB
AD．
∴AB•AC=AD•AE．

三角形ABC中 角BAC=90度 D是BC中點 AE垂直AD,AE交CB延長線於點E 1 求證 三角形EAB相似於三角形ECA 2 三角形ABE和三角形ADC是否一定相似?如果一定相似請加以證明 如果不一定相似 那麼應增加什麼條件能使ABE和ADC一定相似

證明：1、因角BAC=90度,AE垂直AD,AE交CB延長線於點E,
所以角EAB=角CAD.
又因角BAC=90度 D是BC中點,所以角C=角CAD.
所以角EAB=角ECA（角C）.
因角E為公共角,所以.
2、三角形ABE和三角形ADC一定相似.
因三角形EAB相似於三角形ECA,所以角EAB=角ECA=角DCA.
因AD為直角三角形的中線,所以BD=AD.所以角DBA=角DAB.
又因角EBA=角BDA+角BAD=角BDA+角BAD=角ADC,
所以三角形ABE和三角形ADC一定相似.

如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90゜，D為CB延長線上一點，AE=AD，且AE⊥AD，BE與AC的延長線交於點P． （1）求證：BP=PE； （2）若AC=3PC，求DB BC的值．

證明：（1）作EM⊥AP於M，

∵∠ACB=90°，
∴∠M=∠ACD，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，∠EAM+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠AEM，
在△ADC和△EAM中

∠DAC＝∠AEM
∠ACD＝∠M
AD＝AE
∴△ADC≌△EAM，
∴AC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=EM，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCP=∠M，
在△BCP和△EMP中

∠BCP＝∠M
∠BPC＝∠EPM
BC＝EM
∴△BCP≌△EMP（AAS），
∴BP=PE．
（2）∵△BCP≌△EMP，△ADC≌△EAM，
∴CP=PM，AM=DC，
設PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，
∴BD=2x，
∴DB
BC＝2
3．

已知：如圖所示，E是AB延長線上的一點，AE=AC，AD平分∠BAC交BC於點D，BD=BE． 求證：∠ABC=2∠C．

證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△ADE和△ADC中，
∵AE=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴∠E=∠C，
∵BE=BD，
∴∠E=∠BDE，
∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E，
∴∠ABC=2∠C．

已知△ABC內接於⊙O,直線EF過點A,∠EAC=∠B求證EF是切線

連線OA、OC 由圓的基本定理可知∠AOC=2∠B,這個沒問題吧 又因為OA=OC,所以∠OAC=∠OCA 三角形AOC中,∠OAC+∠OCA+∠AOC=180度 代入∠OAC=∠OCA,∠AOC=2∠B=2∠EAC 可得∠EAC+∠OAC=90度,即∠EAO=90度,也就是說OA垂直...

如圖所示,在△ABC和△ADE眾,AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠EAC,AD,AE交BC於點F,G.求證DE‖B 如圖所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠EAC,AD,AE交BC於點F,G.求證DE‖BC

∵ ∠B=∠C,AB=AC,∠DAB=∠EAC 
∴△ABF≌△ACG（ASA）
∴AF=AG,
即△AFG也是等腰三角形
∴∠AFG=∠AGF
又∵∠DAE=∠FAG,∠D=∠E
∴180°-2∠AFG=180°-2∠D
即∠AFG=∠D
∴FG//DE
∴BC//DE 

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC，說明AD∥BC．

證明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=1
2∠EAC．
又∵∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C，
∴∠B=1
2∠EAC．
∴∠EAD=∠B．
所以AD∥BC．

如圖，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長線上一點，切線DE平分AC於E，求證：AC是⊙O的切線．

證明：連線OD，OE，CD；
∵切線DE平分AC於E，
∴∠ODE=90°，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵AE=EC，
∴在Rt△ADC中：DE=CE=1
2AC；
∵OE=OE，OD=OC，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切線．

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE於點M，經過B，M兩點的⊙O交BC於點G，交AB於點F，FB恰為⊙O的直徑． （1）求證：AE與⊙O相切； （2）當BC=4，cosC=1 3時，求⊙O的半徑．

（1）證明：連線OM，則OM=OB∴∠1=∠2∵BM平分∠ABC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OM∥BC∴∠AMO=∠AEB在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線∴AE⊥BC∴∠AEB=90°∴∠AMO=90°∴OM⊥AE∵點M在圓O上，∴AE與⊙O相切；（2）在△ABC中...

如圖所示已知△ABC中以AB為直徑作圓O交BC於D,過點D作圓O的切線FE,交BC於E,且AE⊥DE.求證AB=AC

如圖,連結OD,
∵DE是圓O的切線,
∴OD⊥DE,
又∵AE⊥DE,
∴OD∥AC,
∴∠C=∠BDO,
∵OB=OD,
∴∠B=∠BDO,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC