已知：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC於點P，PD⊥AC於點D． （1）求證：PD是⊙O的切線； （2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC於點P，PD⊥AC於點D． （1）求證：PD是⊙O的切線； （2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．

（1）證明：連線AP，OP，

∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
又∵OP=OB，∠OPB=∠B，
∴∠C=∠OPB，
∴OP∥AD；
又∵PD⊥AC於D，
∴∠ADP=90°，
∴∠DPO=90°，
∵以AB為直徑的⊙O交BC於點P，
∴PD是⊙O的切線．
（2）∵AB是直徑，
∴∠APB=90°；
∵AB=AC=2，∠CAB=120°，
∴∠BAP=60°，
∴BP=
3，
∴BC=2
3．

如圖所示，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC於點P，PD⊥AC於點D，且PD與⊙O相切． （1）求證：AB=AC； （2）若BC=6，AB=4，求CD的值．

（1）證明：連線OP，∵PD與⊙O相切，∴OP⊥PD，∵AC⊥PD，∴OP∥AC，∵OP=0A=OB=12AB，∴OP是△ABC的中位線，∴OP=12AC，∴AC=AB．（2）連線AP，∵AB為直徑，∴AP⊥BC；由（1）知，AC=AB=4，∴PC=PB；又∵BC=6，∴PC...

如圖所示，AD和AD′分別是銳角△ABC和△A′B′C′的邊BC、B′C′上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，請你補充條件______（只填一個），並加以證明．

可添條件：DC=D′C′．
證明：∵AB=A′B′，AD=A′D′，∠ADB=∠A′D′B′=90°，
∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（HL），
∴∠B=∠B′，BD=B′D′，
∵DC=D′C′，
∴BC=B′C′；
又∵AB=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
還可新增：AC=A′C′，或∠C=∠C′，或AC=A′C′，或∠DAC=∠D′A′C′．

在銳角三角形ABC中，高AD=12，邊AC=13，BC=14，求AB的長．

如圖：
∵高AD=12，邊AC=13，
∴由勾股定理得，CD=
AC2−AD2=
132−122=5，
∵BC=14，
∴BD=14-5=9，
在Rt△ABD中，AB=
AD2+BD2=
122+92=15．

如圖，在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．則AB=______．

∵AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD=
AC2−AD2=
132−122=5，
∵BC=14，∴BD=BC-CD=9，
在Rt△ABD中，AB=
BD2+AD2=
92+122=15．
故答案為：15．

如圖,AD,A'D'分別為銳角三角形ABC和銳角三角形A'B'C'的邊BC和B'C'上的高,且AB=A'B',AD=A'D'.補充下列條件仍不能使△ABC≌△A'B'C'的是 A.BC=B'C' B.AC=A'C' C.∠C=∠C' D.∠BAC=∠B'A'C' 單選額...

不行的為B （SSA)
A的理由為 （SAS）
C的理由為 （AAS）
D的理由為 （ASA）

如圖，有一塊銳角三角形材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一邊在BC上，其餘兩個頂點分別在AB、AC上，則這個正方形零件的邊長為（　　） A. 40mm B. 45mm C. 48mm D. 60mm

設正方形的邊長為xmm，
則AK=AD-x=80-x，
∵EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴EH
BC=AK
AD，
即x
120=80-x
80，
解得x=48mm，
故選C．

三角形ABC內接於圓O,AB=BC,角ABC=120,AD為0的直徑,AD=6,那麼BD=?

∵AB=BC,∠ABC=120°,
∴∠ACB=30°．
∴∠ADB=∠ACB=30°．
∵AD為⊙O的直徑,
∴∠ABD=90°,
∴BD=AD•cos30°=3√3

如圖在三角形abc中,角abe=2角c,ad是角bac的平分線,be垂直於ad,垂足為e.若角c=30度,求證：ab=2be； 若角c不等於30度,求證：be=1/2(ac-ab)

(1)證明：因為BE垂直AD於E
所以角BEA=90度
因為角C=30度
角ABE=2角C
所以角ABE=60度
因為角ABE+角BEA+角BAE=180度
所以角BAE=30度
所以在直角三角形ABE中,角BEA=90度,角BAE=30度
所以BE=1/2AB
所以AB=2BE
(2)證明：延長BE與AC相交於F
因為AD是角BAC的角平分線
所以角FAE=角BAE
因為BE垂直AD於E
所以角AEF=角AEB=90度
因為AE=AE
所以三角形AEF和三角形AEB全等（ASA)
所以AF=AB
EF=BE=1/2BF
角AFE=角ABE
因為角AFE=角C+角CBF
角ABE=2角C
所以角C=角CBF
所以CF=BF=2BE
因為AC=AF+CF
所以AB+2BE=AC
所以BE=1/2(AC-AB)

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線於點M．求證：AM=1 2（AB+AC）．

證明：延長AM至N，使DM=MN，連線CN，
∵CM⊥AD，DM=MN，
∴CN=CD，
∴∠CDN=∠DNC，
∴∠DNC=∠ADB，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB，
∴∠B=∠ANC，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=∠ACN，
∴∠ANC=∠ACN，
∴AN=AC，
∴AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM，
∴AM=1
2（AB+AC）．