如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，現將△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移距離為3． （1）求△ABC與△A′B′C′的重疊部分的面積； （2）若平移距離為x（0≤x≤4），求△ABC與△A′B′C′的重疊部分的面積y，則y與x有怎樣關係式．

如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，現將△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移距離為3． （1）求△ABC與△A′B′C′的重疊部分的面積； （2）若平移距離為x（0≤x≤4），求△ABC與△A′B′C′的重疊部分的面積y，則y與x有怎樣關係式．

（1）∵∠C=90°，BC=4，AC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵△A′B′C′是△ABC平移得到的，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠A′C′B′=90°，
∴∠BOC′=45°，
∴△BOC′是等腰直角三角形，
∵BC′=BC-CC′=4-3=1，
∴S△BOC′=1
2×1×1=1
2，
即S陰影=1
2；
（2）根據（1）可知兩個三角形重合部分是等腰直角三角形，
那麼S陰影=1
2（4-x）2．

在Rt三角形ABC中,角ACB=90度,CD垂直AB於D,E為AC的中點,ED的延長線交CB的延長線於P. 求證：PD的平方=PB×PC

證明：ED是直角△ADC的斜邊AC上的中線,∴ED=EC,∴∠ECD=∠EDC
∴∠ECD+90°=∠EDC+90°,∴∠PCD=∠PDB
又∵∠P=∠P,∴△PCD∽△PDB
∴PC:PD=PD:PB,∴PD的平方=PB×PC

在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EDF+∠EAF=180°，求證DE=DF．

證明：過D作DM⊥AB，於M，DN⊥AC於N，
即∠EMD=∠FND=90°，

∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分線性質），
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，
∴∠MED=∠NFD，
在△EMD和△FND中

∠MED＝∠DFN
∠DME＝∠DNF
DM＝DN ，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF．

在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EDF+∠EAF=180°，求證DE=DF．

證明：過D作DM⊥AB，於M，DN⊥AC於N，
即∠EMD=∠FND=90°，

∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分線性質），
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，
∴∠MED=∠NFD，
在△EMD和△FND中

∠MED＝∠DFN
∠DME＝∠DNF
DM＝DN ，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF．

已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊中點，AG是BC邊上的高，求證：四邊形DGEF是等腰梯形．

證明：∵D、F分別為邊AB，AC的中點，
∴DF∥BC即DF∥GE，
∵DF=BE=1
2BC≠GE，
∴四邊形DGEF是梯形，
∵E、F分別邊AC，BC的中點，
∴EF=1
2AB，
∵AG是BC邊上的高，
∴△ABG是直角三角形，
∴DG=1
2AB，
∴EF=DG，
∴四邊形DGEF是等腰梯形．

如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊的中點,E.F分別是AB,AC的中點,連線DE,DF,求證：四邊形AEDF是菱形

證明：因為D、E、F分別為BC、AB、AC的中點
所以有DF∥且=AB/2
DE∥且=AC/2
AE=AB/2
AF=AC/2
所以DF∥且=AE,DE∥且=AF
所以由定義知四邊形AEDF為菱形
打字很累的,

1.如圖,三角形ABC中,AD是角BAC的角平分線,DE//AC,交AB於E,DF//AB交AC於F,求證：四邊形AEDF是菱形. 2.

容易知道四邊形為平行四邊形；
AD平分∠FAE,於是∠FAD=∠DAE,而DF//AB,於是∠DAE=∠FDA
因此∠FAD=∠FDA,FA=FD；
因此四邊形AEDF是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊中點，AG是BC邊上的高，求證：四邊形DGEF是等腰梯形．

證明：∵D、F分別為邊AB，AC的中點，
∴DF∥BC即DF∥GE，
∵DF=BE=1
2BC≠GE，
∴四邊形DGEF是梯形，
∵E、F分別邊AC，BC的中點，
∴EF=1
2AB，
∵AG是BC邊上的高，
∴△ABG是直角三角形，
∴DG=1
2AB，
∴EF=DG，
∴四邊形DGEF是等腰梯形．

已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊中點，AG是BC邊上的高，求證：四邊形DGEF是等腰梯形．

證明：∵D、F分別為邊AB，AC的中點，
∴DF∥BC即DF∥GE，
∵DF=BE=1
2BC≠GE，
∴四邊形DGEF是梯形，
∵E、F分別邊AC，BC的中點，
∴EF=1
2AB，
∵AG是BC邊上的高，
∴△ABG是直角三角形，
∴DG=1
2AB，
∴EF=DG，
∴四邊形DGEF是等腰梯形．

已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊中點，AG是BC邊上的高，求證：四邊形DGEF是等腰梯形．

證明：∵D、F分別為邊AB，AC的中點，
∴DF∥BC即DF∥GE，
∵DF=BE=1
2BC≠GE，
∴四邊形DGEF是梯形，
∵E、F分別邊AC，BC的中點，
∴EF=1
2AB，
∵AG是BC邊上的高，
∴△ABG是直角三角形，
∴DG=1
2AB，
∴EF=DG，
∴四邊形DGEF是等腰梯形．