O為平面中任意一點，若A，B，C三點共線，證明：存在一組有序數對（X，Y）使得向量OA=x向量OB+y向量OC，且x+y=1

O為平面中任意一點，若A，B，C三點共線，證明：存在一組有序數對（X，Y）使得向量OA=x向量OB+y向量OC，且x+y=1

顯然有：向量AB＝向量OB－向量OA、向量BC＝向量OC－向量OB.
∵A、B、C共線，∴向量AB＝k向量BC，其中k為非零實數.
∴向量OB－向量OA＝k（向量OC－向量OB），
∴向量OA＝向量OB－k向量OC＋k向量OB＝（1＋k）向量OB－k向量OC.
令y＝－k，x＝1＋k，得：x＋y＝1.
∴向量OA＝x向量OB＋y向量OC，且x＋y＝1.

設O，B，C為平面上四點，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，且a+b+c=0，a，b，c兩兩數量積均為-1 求a的絕對值+b的絕對值+c的絕對值等於多少

因為a+b+c=0，所以：
a*（a+b+c）=a*0（注：指零向量）
即：|a|²+a*b+a*c=0（注：指數量0）
又a*b＝a*c＝-1
所以：|a|²=-a*b-a*c=2
解得：|a|=√2
同理由b*（a+b+c）=b*0和c*（a+b+c）=c*0也可解得：
|b|=|c|=√2
所以：|a|+|b|+|c|=3√2

已知向量 OA=（3，-4）， OB=（6，-3）， OC=（5-m，-3-m）. （1）若點A、B、C共線，求實數m的值； （2）若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，求實數m的值.

（1）若點A、B、C共線，則
AB=λ
AC，λ 為非零實數，故（3，1）=λ （2-m，1-m），
∴2λ-mλ=3，λ-mλ=1，解得λ=2，m=1
2.
（2）∵△ABC為直角三角形，且∠C=90°，∴
CA•
CB=（m-2，m-1）•（m+1，m）=0，
∴m=1±
3.

已知向量OA=（3,4）OB=（6.-3），OC=（5-m，-3-m）.若ABC能組成直角三角形，角A=90則m應滿足？

因為角A為直角，所以向量AB*向量AC=0
向量AB=（3，-7）
向量AC=（2-m，-7-m）
所以6-3m+49+7m=0
所以m=-55/4

已知向量OA=（3，-4）向量OB=（6-3）向量OC=（5-m，-3-m）若點A，B，C能構成以∠A為直角的直角三角形 ，求m的值

若點A，B，C能構成以∠A為直角的直角三角形
則AB*AC=0
即（6-3，-3+4）*（5-m-6，-3-m+3）=0
3（-m-1）+1*（-m）=0
解m=-3/4

設點O在三角形ABC的內部且有4向量OA+向量OB+向量OC=0，三角形ABC則三角形ABC的面積與三角形OBC的面積之比為

設BC中點為D，
向量OB+向量OC=2向量OD
∵4向量OA+向量OB+向量OC=向量0
∴4向量OA+2向量OD=向量0
向量OD=-2向量OA
所以|A，O，D三點共線
|AD|=3/2|OD|
三角形ABC的面積與三角形OBC的面積之比為3/2