已知三角形ABC中，O為平面內一點，且設向量OA=向量a，向量OB=向量b，向量OC=向量c 則滿足條件（向量a+向量b）•向量AB=（向量b+向量c）•向量BC=（向量c+向量a）•向量CA時，O是三角形的什麼心

已知三角形ABC中，O為平面內一點，且設向量OA=向量a，向量OB=向量b，向量OC=向量c 則滿足條件（向量a+向量b）•向量AB=（向量b+向量c）•向量BC=（向量c+向量a）•向量CA時，O是三角形的什麼心

（向量a+向量b）•向量AB=（向量b+向量c）•向量BC=（向量c+向量a）•向量CA，
——》（向量a+向量b）•（向量b-向量a）=（向量b+向量c）•（向量c-向量b）=（向量c+向量a）•（向量a-向量c）
——》向量b•向量b-向量a•向量a=向量c•向量c-向量b•向量b=向量a•向量a-向量c•向量c，
——》向量a•向量a=向量b•向量b=向量c•向量c，
——》丨向量a丨=丨向量b丨=丨向量c丨，
——》O為三角形的垂心（或外心）.

O為三角形ABC所在的平面內一點，且滿足向量OA+2向量OB+3向量OC=0，則三角形AOC與三角形BOC的面積之比為2：1，這是為什麼？

延長OB至B'，使OB'=2OB；延長OC至C'，使OC'=3OC；
連結B'C'，取B'C'中點D，連結OD並延長至A'，使DA'=OD；
連結B'A'，C'A'，則四邊形OB'A'C'為平行四邊形
∴2向量OB+3向量OC=向量OB'+向量OC'=向量OA'
又∵向量OA+2向量OB+3向量OC=0
即向量OA+向量OA'=0，∴向量AO=向量OA’
所以A，O，A'三點共線，且|AO|=|OA'|
利用同底等高三角形面積相等得：
S△AOC=S△A'OC=S△OCB'=2S△BOC===>S△AOC/S△BOC=2/1

已知平面上有四點O A B C滿足向量OA+OB+OC=0向量，向量OA*OB=OB*OC=OC*OA=-1，則三角形ABC的周長是多少？ 答案是9為什麼？

向量OA+OB+OC=0，
∴O是△ABC的重心，
向量OA*OB=OB*OC=OC*OA=-1，
∴OA*BC=OA*（OC-OB）=OA*OC-OA*OB=0，
∴OA⊥BC，
同理，OB⊥CA，
∴O是△ABC的垂心，
∴△ABC是等邊三角形，
∠BOC=120°，
OB*OC=|OB|^2cos120°=（-1/2）|OB|^2=-1，
∴，|OB|^2=2，|OB|=√2，|BC|=|OB|√3=√6，
∴三角形ABC的周長=3√6.
您給的答案不對.

已知ABC是平面不共線的三點，o是△ABC的重心，動點p滿足向量OP=1/3（1/2向量OA+1/2向量OB+1/2向量OC）， 則點P一定是△ABC的

P一定是三角形ABC的重心.
這是由於O是重心，則OA+OB+OC=0向量，囙此OP=0向量，囙此P與O重合.

已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外一點O，當向量OP=2向量OA-向量OB-向量OC時，點P是否與A，B，C共面

不共面.P，A，B，C共面的充要條件是：對空間任意一點O，有向量OP=m•OA+n•OB+s•OC，其中m+m+s=1由於本題中，OP=2OA-OB-OC，2-1-1=0≠1，從而不共面.結論的證明：P，A，B，C共面，則向量CP=m•CA+n•…

已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任一點O，滿足條件向量OP=1/5向量OA+2/5向量OB+2/5向量OC， 試判斷P與A，B，C是否共面

記住結論
OP=xOA+yOB+zOC
PABC共面的充要條件是x+y+z=1
1/5+2/5+2/5=1
∴P與A，B，C共面