三角形ABCの中ですでに知っていて、Oは平面内の1時で、しかもベクトルOA=ベクトルaを設定して、ベクトルOB=ベクトルb、ベクトルOC=ベクトルc 条件(ベクトルa+ベクトルb)•ベクトルAB=(ベクトルb+ベクトルc)•ベクトルBC=(ベクトルc+ベクトルa)•ベクトルCAの場合、Oは三角形のどの心ですか？

三角形ABCの中ですでに知っていて、Oは平面内の1時で、しかもベクトルOA=ベクトルaを設定して、ベクトルOB=ベクトルb、ベクトルOC=ベクトルc 条件(ベクトルa+ベクトルb)•ベクトルAB=(ベクトルb+ベクトルc)•ベクトルBC=(ベクトルc+ベクトルa)•ベクトルCAの場合、Oは三角形のどの心ですか？

（ベクトルa＋ベクトルb）・ベクトルAB=（ベクトルb＋ベクトルc）・ベクトルBC=（ベクトルc＋ベクトルa）・ベクトルCA
——』(ベクトルa+ベクトルb)•(ベクトルb-ベクトルa)=(ベクトルb+ベクトルc)•(ベクトルc-ベクトルb)=(ベクトルc+ベクトルa)•(ベクトルa-ベクトルc)
――ベクトルb・ベクトルb-ベクトルa・ベクトルa=ベクトルc・ベクトルc-ベクトルb・ベクトルb=ベクトルa・ベクトルa・ベクトルc・ベクトルc、
——ベクトルa・ベクトルa=ベクトルb・ベクトルb=ベクトルc・ベクトルc、
——》丨ベクトルa丨=丨ベクトルb丨=丨ベクトルc丨、
——Oは三角形の下心（または外心）である。

Oは三角形ABCのある平面内の一点であり、ベクトルOA＋2ベクトルOB＋3ベクトルOC＝0を満たすと、三角形AOCと三角形BOCの面積の比率は2：1である。これはなぜですか？

OBをBに延長して、OBを=2 OBにならせます。OCをC'に延長して、OC'=3 OCにする。
B'C'を結び、B'C'中点Dを取って、ODを結び、A'に延長して、DA'=ODを使う。
B'A'，C'A'を連結すると，四角形OB'A'C'は平行四辺形である。
∴2ベクトルOB+3ベクトルOC=ベクトルOB'+ベクトルOC'=ベクトルOA'
また∵ベクトルOA+2ベクトルOB+3ベクトルOC=0
すなわちベクトルOA＋ベクトルOA'=0，∴ベクトルAO=ベクトルOA’
したがって、A、O、A'は3点共線であり、かつ、124 AO 124=124 OA'124
同じ底などの高い三角形の面積を利用すると、等しいです。
S△AOC=S△A'OC=S△OCB'=2 S△BOC=>S△AOC/S△BOC=2/1

平面上に4点のO A B B Cがあることをすでに知っていますが、ベクトルOA+OB+OC=0ベクトル、ベクトルOA*OB=OB*OC=OC*OA=-1を満たすと、三角形ABCの周囲はいくらですか？ 答えは9です。なぜですか

ベクトルOA+OB+OC=0、
∴Oは△ABCの重心であり、
ベクトルOA*OB=OB*OC=OC*OA=-1，
∴OA*BC=OA*(OC-OB)=OA*OC-OA*OB=0
∴OA⊥BC
同理屈、OB

ABCは平面不共線の3点であることが知られています。oは△ABCの重心であり、動点pはベクトルOP=1/3（1/2ベクトルOA＋1/2ベクトルOB＋1/2ベクトルOC）を満たしています。 Pを注文すれば必ず△ABCです。

Pはきっと三角形ABCの重心です。
これはOが重心であるため、OA+OB+OC=0ベクトルとなり、OP=0ベクトルとなり、PがOと重なる。

A，B，Cの3点が共通ではないことをすでに知っていて、平面ABCの外の1点Oに対して、ベクトルOP=2ベクトルOA-ベクトルOB-ベクトルOCの時、点PはA，B，Cと顔を合わせますか？

不共面.P，A，B，C共面の充填条件は、空間の任意の点Oに対してベクトルOP=m•OA+n•OB+s•OCがあり、そのうちm+m+s=1は本題でOP=2 OA-OB-OC、2-1=0≠1で、共通面ではないということです。

A、B、Cの3点が共通でないことをすでに知っていて、平面ABCに対して1時Oを外任して、条件ベクトルOP=1/5ベクトルOA+2/5ベクトルOB+2/5ベクトルOCを満たして、 PとA、B、Cが共通しているかどうか判断してみます。

結論を記憶する
OP=xOA+yOB+zOC
PABC共面の充填条件はx+y+z=1です。
1/5+2/5+2/5=1
∴PとA、B、Cの共面