證明：在n維向量空間中，如果α1.α2…αn線性無關，則任一向量β可以由α1.α2…αn線性表示

證明：在n維向量空間中，如果α1.α2…αn線性無關，則任一向量β可以由α1.α2…αn線性表示

在n維向量空間中，任意n+1個向量線性相關，所以α1.α2…αn，β線性相關，設：c1*α1+c2*α2…+cn*αn+c*β=0（其中c1，…cn，c不全為0）若c=0，則可得α1.α2…αn線性相關，衝突！所以c不為0，對上式變形即可知道：β=-（c…

線代：如果n個n維向量線性無關，則任一n維向量a可由上述向量組線性表出且標記法惟一，怎麼證明？

n維向量組a1，a2，…，an線性無關
所以|a1，a2，…，an|≠0
由Cramer法則，線性方程組（a1，a2，…，an）X=b有唯一解
所以b可由a1，a2，…，an唯一線性表示.

N維向量組與N維向量之間 前者說的是基的個數還是說的是向量的維數？兩者之間的關係？

N維向量組是一組向量，他們每一個都是n維的
N維向量是指一個向量，它是N維的

現在已知道a是n維組織l列向量下麵步驟中的“所以”是怎麼推的？ “由已知aa^T的特徵值為1,0,0，…，0所以A=E-aa^T的特徵值為0,1,1，…，1”

因為aa^T的特徵值為1,0,0,0由|λE-aa^T|=0所以有|E-aa^T|=0和|aa^T|=0然後我們看|λE-A|=|λE-（E-aa^T）|=|（λ-1）E+aa^T|=|aa^T-（1-λ)E|當λ=1時，和原來aa^T的特徵方程的0是一樣的當λ=0時，和原來aa^T的特徵方程的1…

設A為n階實矩陣，證明A是正交矩陣當且僅當對任意的n維向量α,β有（Aα,Aβ)=（α,β)

（α,β)=β^Tα,（Aα,Aβ)=β^TA^TAα
顯然當A是正交陣的時候（Aα,Aβ)=（α,β)
反過來，令M=A^TA，M是一個對稱陣
取α=β=e_i得到M（i，i）=1，這裡e_i是組織陣的第i列
對於i≠j，取α=e_i，β=e_j，得到M（i，j）=0所以M=I

證明：r維向量組的每個向量添上n-r個分量，成為n維向量組，若r維向量組線性無關，則n維向量組也線性 無關

知識點：向量組a1，…，as線性無關的充要條件是齊次線性方程組（a1，…，as）x=0只有零解.
設r維向量組a1，…，as線性無關
則齊次線性方程組（a1，…，as）x=0只有零解
設a1，…，as添加分量後為b1，…，bs
則齊次線性方程組（b1，…，bs）x=0也只有零解
--添加分量是新增了方程的個數，即新增了未知量的約束條件
--原方程組只有零解，現方程組的解只會减少，但再少它也有個零解
所以b1，…，bs線性無關.