A為n維正交矩陣，a，b為n維列向量，則Aa·Ab=a·b.為什麼？

A為n維正交矩陣，a，b為n維列向量，則Aa·Ab=a·b.為什麼？

Aa·Ab=（Aa）'Ab
=a'A'Ab
=a'（A'A）b
=a'Eb
=a'b
=a·b

設T為正交陣，x為n維列向量，若|T| 1，設T為正交陣，x為n維列向量，若|Tx| = 2，則|x|=？ 2，設A為n階是對陣矩陣，證明：A是正定矩陣的充分必要條件是，存在正定矩陣B，使得：A = B.B 3，已知矩陣A={（0，x，1），（0,2,0），（4,0,0）}有三個線性無關的特徵向量，則x=？

1.|x|=2（對於任意正交矩陣T和與之同階的向量x有|Tx|=|x|）
2.必要性：設l（1），l（2），…，l（n）是正定矩陣A的特徵值，則存在n階正交矩陣P，使得
A= P diag（l（1），l（2），…，l（n））P'
令（sqrt（）表示開平方）
B= P diag（sqrt（l（1）），sqrt（l（2）），…，sqrt（l（n）））P'
則B是正定矩陣且A=B^2.
充分性：如果A=B^2，其中B正定，則x'Ax = x'B'Bx = |Bx|^2 >= 0，等號成立當且僅當Bx=0，因為B可逆，故當且僅當x=0，囙此A是正定的.
3.x=0.因為A的特徵多項式為φ（λ)=（λ+2）（λ-2）^2，它有三個線性無關的特徵向量，則屬於特徵值2的特徵子空間是2維的，囙此A的最小多項式是（λ+2）（λ-2），即A^2=4I，比較此等式兩端得x=0.

設P為n階正交矩陣，x是n維組織長的列向量，則||Px||=（）？兩豎代表什麼意思？

||Px||是Px的長度
由於P是正交矩陣，所以||Px|| = ||x|| = 1.

設a1，a2為n維列向量，A為n階正交矩陣，證明[Aa1，Aa2]=[a1，a2]

因為A為正交矩陣
所以A^TA=E.
所以
[Aa1，Aa2] =（Aa1）^T（Aa2）= a1^TA^TAa2 = a1^Ta2 = [a1，a2]

已知向量a=2，向量b=5，向量a*b=-3，則向量a+b的絕對值為？向量a-b的絕對值為？

向量a+b的絕對值的平方=向量a的平方+向量b的平方+2×向量a*b=23
向量a+b的絕對值為根號下23
向量a-b的絕對值的平方=向量a的平方+向量b的平方-2×向量a*b=35
向量a-b的絕對值為根號下35

已知向量a的絕對值=1，a*b=1/2，（a-b）*（a+b）=1/2， 1）求a與b的夾角θ,求a+b的絕對值

（a-b）*（a+b）=|a|^2-|b|^2=1-|b|^2=0.5
所以|b|^2=0.5，|b|=根下2分之1
cosθ=（a*b）/（|a|*|b|）=2分之根號2
θ=45度
|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2*a*b=1+0.5+2*|a|*|b|*cos45度
=1.5+1=2.5
|a+b|=（根下10）/2