請給出平行四邊形的對角線與邊的關係定理的證明（平行四邊形兩條對角線的平方和等於它的四邊的平方和）

請給出平行四邊形的對角線與邊的關係定理的證明（平行四邊形兩條對角線的平方和等於它的四邊的平方和）

用余弦定理

求證：平行四邊形兩條對角線的平方和等於四條邊的平方和.

已知：在平行四邊形ABCD中，AC，BD是其兩條對角線，
求證：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
證明：作AE⊥BC於點E，DF⊥BC交BC的延長線於F，
則∠AEB=∠DFC=90°.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB‖CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF.
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由畢氏定理，得
AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2.
又∵AE2+BE2=AB2，
即：AC2+BD2=2（AB2+BC2）.
∵AB=CD，AD=BC，
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2

用向量證明：平行四邊行兩條對角線的平方和等於四邊的平方和

設平行四邊形ABCD
則AC^2+BD^2=（AB+BC）^2+（BA+AD）^2=AB^2+BC^2+2AB*BC*cos（π-B）+BA^2+AD^2+2BA*AD*cos（π-A）=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-cosB2AB*BC+2BA*AD*cosB
=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2
故得證

證明：平行四邊形四條邊的平方和等於兩條對角線之和 假設你只有國中的知識，只用幾何法證明，謝謝.

證明：如圖
過A，D兩點做BC邊的高，垂足分別為E、F
則易知△ABE≌△DCF
      BE=CF，AE=DF
利用畢氏定理得
BD²=BF²+DF²
BD²=（BC+CF）²+DF²
=BC²+2*BC*CF+CF²+DF²
AC²=AE²+CE²
=AE²+（BC-BE）²
=AE²+BC²-2*BC*BE+BE²
所以BD²+AC²=（BC²+2*BC*CF+CF²+DF²）+（AE²+BC²-2*BC*BE+BE²）
=2*BC²+2（CF²+DF²）
=2*BC²+2*CD²
=BC²+AD²+AB²+CD²
即
BD²+AC²=BC²+AD²+AB²+CD²

如何用解析法證明平行四邊形各邊的平方和等於兩條對角線的平方和

向量AB=向量e1
向量AD=向量e2
向量AC=向量e1+向量e2
向量BD=向量e1-向量e2
AC方+BD方=（向量e1+向量e2）方+（向量e1-向量e2）方=2（e1方+e2方）=AB方+BC方+CD方+DA方

為什麼若aOA＋bOB＋cOC＝0（OA，OB，OC，0均為向量），則O為三角形ABC的內心？ 那個等號後面的是零向量 到底怎麼得出來的？

先把內心的位置求出來，代進去是滿足的.然後有且僅有一個點O使上述等式成立，囙此滿足這個等式的O就是內心.
至於內心的求法，見下麵的連結，不管是純的向量還是有坐標系，方法是一樣的.