請問在三角形中“五心”交與一點怎樣用向量來證明？ 我說的是它們各自交與一點怎樣證明. 例如：怎樣證明，垂心是三條高線的交點，只有一個。

請問在三角形中“五心”交與一點怎樣用向量來證明？ 我說的是它們各自交與一點怎樣證明. 例如：怎樣證明，垂心是三條高線的交點，只有一個。

對於三角形的五心指重心、內心、垂心、外心和旁心，他們五個應該是不共點吧！垂心是三條高線的交點，只有一個.內心是三條角平分線的交點，只有一個.重心是三條中線的交點，只有一個.外心是三邊中垂線的交點，也只有一個.但…

三角形四心的向量表示

三角形“四心”的向量性質及其應用
一、三角形的重心的向量表示及應用
命題一已知是不共線的三點，是內一點，若.則是的重心.
證明：如圖1所示，因為，
所以.
以，為鄰邊作平行四邊形，
則有，
所以.
又因為在平行四邊形中，交於點，
所以，.
所以是的邊的中線.
故是的重心.
點評：①解此題要聯系重心的定義和向量加法的意義；②把平面幾何知識和向量知識結合起來解决問題是解此類問題的常用方法.
例1如圖2所示，的重心為為座標原點，，試用表示.
設交於點，則是的中點，
圖2
而
點評：重心問題是三角形的一個重要知識點，充分利用重心性質及向量加、减運算的幾何意義是解决此類題的關鍵.
變式：已知分別為的邊的中點.則.
證明：如圖的所示，
圖3
　
..
變式引申：如圖4，平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點，
則.
證明：，
.
點評：（1）證法運用了向量加法的三角形法則，證法2運用了向量加法的平行四邊形法則.（2）若與重合，則上式變為0.
二、三角形的外心的向量表示及應用
命題二：已知是內一點，滿足，則點為△ABC的外心.
例2已知G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，點A，B的座標分別為A（-1,0），B（1,0），且‖，（1）求點C的軌跡方程；（2）若直線過點（0,1），並與曲線交於P、Q兩點，且滿足，求直線的方程.解（1）設C（x，y），則G（），
其中，
由於‖，
故，
外心M（0，），
，得
軌跡E的方程是
（2）略.
三、三角形的垂心的向量表示及應用
命題三：已知是內一點，滿足，則點G為垂心.（2005全國文12）
證明：由.
即
則
所以P為的垂心.
點評：本題將平面向量有關運算、“數量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關知識巧妙結合.
變式：若H為△ABC所在平面內一點，且
則點H是△ABC的垂心
B
C
H
A
圖6
證明：
0
即0
同理，
故H是△ABC的垂心
四、三角形的內心的向量表示及應用
命題四：O是內心的充要條件是
變式1：如果記的單位向量為，則O是內心的充要條件是
變式2：如果記的單位向量為，則O是內心的充要條件也可以是.
例4（2003江蘇）已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，滿足，則P的軌跡一定通過△ABC的內心.
P
E
C
O
A
B
D
圖7
如圖由已知
，
，
設，
D、E在射線AB和AC上.
AP是平行四邊行的對角線.
又，
ADPE是菱形.
點P在即的平分線上.
故P點的軌跡一定通過△ABC的內心.
五、三角形外心與重心的向量關係及應用
命題五：設△ABC的外心為O，則點G為△ABC重心的充要條件為：
圖8
證明：如圖8，設G為重心，連結AG並延長，交BC於D，則D為BC的中點.
∴
反之，若，
則由上面的證明可知：
設D為BC的中點，則，
從而，
∴G在中線AD上且AG= AD，即G為重心.
六、三角形外心與垂心的向量關係及應用
命題六：設△ABC的外心為O，則點H為△ABC的垂心的充要條件是.
證明：如圖2，若H為垂心，以OB、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC，
圖9
則
∵O為外心，
∴OB=OC，
∴平行四邊形OBDC為菱形
∴OD⊥BC，而AH⊥BC，
∴AH‖OD，
∴存在實數，使得
∴①.
同理，存在實數，使得
②
③
比較①、②、③可得，
∴
反之，若，則，
∵O為外心，∴OB=OC
∴
∴AH⊥CB，同理，BH⊥AC.
∴H為垂心.
例6、已知H是△ABC的垂心，且AH=BC，試求∠A的度數
設△ABC的外接圓半徑為R，點O是外心.
∵H是△ABC的垂心
∴
∴
∴
∵，
∴
∵AH=BC，
∴
∴
而∠A為△ABC的內角，
∴0＜2A＜360°從而2A=90°或270°
∴∠A的度數為45°或135°.
七、三角形的外心、重心、垂心的向量關係及應用
命題七：△ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點共線（O、G、H三點連線稱為歐拉線），且OG= GH.
圖10
證明：如圖10，由命題五、六知，連結AG並延長，交BC於D，則D為BC的中點.
，
∴
∴O、G、H三點共線，且OG= GH.
例7、已知O（0,0），B（1,0），C（b，c），是OBC的三個頂點.試寫出OBC的重心G，外心F，垂心H的座標，並證明G、F、H三點共線.（2002年全國）
重心G為，設H點的座標為
∵，BC=（b-1，c），
，故
H點的座標為
設外心F的座標為由|FO|=|FC|，得，
所以F點的座標為（，）.
從而可得出GH=（，），FH=（，）
，GH‖FH，F、G、H三點共線.
點評：向量不僅是平面解析幾何入門內容，而且是解在關數形結合問題的重要工具.它一般通過概念的移植、轉化，將座標與向量結合起來，從而使一些難題在思路上獲得新的突破.
例8、已知P是非等邊△ABC外接圓上任意一點，問當P位於何處時，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值.
如圖11，設外接圓半徑為R，點O是外心，則
圖11
PA2+PB2+PC2=
（由命題六知：H為垂心，）
∴當P為OH的反向延長線與外接圓的交點時，有最大值6R2+2R·OH
當P為OH的延長線與外接圓的交點時，有最小值6R2－2R·OH

向量中如何表示內心

已知O為三角形ABC的內心，a，b，c分別是A.B.C邊所對邊長.則aOA+bOB+cOC=0（OA，OB，OC均指向量）證明：設三角形ABC，AD為BC邊上的角平分線，內心為O.|BC|=a，|AC|=b，|AB|=caOA+bOB+cOC=aOA+b（AB+OA）+c（AC+OA）=（a+b+c）OA+b（DB-…

三角形內心與向量結合的問題. 設I為三角形ABC的內心，AB=AC=5，BC=6，向量AI=m（倍）向量AB+n（倍）向量BC，求和的值. 設I為三角形ABC的內心，AB=AC=5，BC=6，向量AI=m（倍）向量AB+n（倍）向量BC，求M和N的值。

過I點作DI平行於BC，交AB於點D.連AI並延長交BC於E'm（倍）向量AB+n（倍）向量BC '即'向量AD+向量DI'因為DI與BC，AD與AB平行所以M*向量AB=向量AD N*向量BC=向量DI易知三角形內切圓半徑1.5所以EI=1.5由相似知AD=25/…

請用向量的方法證明任何三角形三條中線共點.

設三角形是ABC，三個中線為AD，BE，CF，那麼，有向量AD＝1/2*（向量AC+向量AB），向量BE=1/2*（向量BA+向量BC），向量CF=1/2*（向量CA+向量CB）.由此，向量AD+向量BE+向量CF=0向量即此三向量可以構成一三角形，那麼其共點.

已知向量a=（sinx，3/2），b=（cosx，-1）.當a平行於b時，求2cosx的平方-sin2x的值

sinx*（-1）=3/2*cosx
sinx/cosx=-3/2
tanx=-3/2
2（cosx）^2-sin2x
=cos2x+1-sin2x
=[1-（tanx）^2]/[1+（tanx）^2]-2（tanx）/[1+（tanx）^2]+1
=[1-（tanx）^2-2（tanx）]/[1+（tanx）^2]+1
=[1-9/4+3]/[1+9/4]+1
=16/13