已知向量OA，OB，OC和三邊a，b，c，I是三角形的內心，證明向量OI=（aOA+bOB+cOC）/（a+b+c）

已知向量OA，OB，OC和三邊a，b，c，I是三角形的內心，證明向量OI=（aOA+bOB+cOC）/（a+b+c）

設三角形ABC，AD為BC邊上的角平分線，內心為I.|BC|=a，|AC|=b，|AB|=caIA+bIB+cIC=aIA+b（AB+IA）+c（AC+IA）=（a+b+c）IA+b（DB-DA）+c（DC-DA）設BC的方向向量e，則DB=e|DB|，DC=-e|DC|又由角平分線定理，|DB|/|DC|=c/b，所以bDB+cDC…

點O為△ABC的內切圓圓心，a b c為∠A∠B∠C所對邊的長度，求證aOA+bOB+cOC=0（OA OB OC和0是向量）

證明：
a=OB-OC
b=OC-OA
c=OA-OB
則a*OA+b*OB+c*OC=（OB-OC）*OA+（OC-OA）*OB+（OA-OB）*OC
展開即可得證！
說明以上均為向量，*為點乘不是X乘

已知O是三角形abc中一點，AB=c，BC=a，AC=b，若aOA+bOB+cOC=零向量，（OA，OB，OC都向量）求證O是內心.

一下用到的都是向量，其中e是單位向量，
設AB=c*e1，AC=b*e2，BC=a*e3
其中e1，e2，e3是AB AC BC方向的單位向量，
aOA+bOB+cOC=0
即aOA+b（OA+AB）+c（OA+AC）=0
即（a+b+c）OA+bAB+cAC=0
所以OA=-（bAB+cAC）/（a+b+c）=-（bc*e1+bc*e2）/（a+b+c）=-bc（e1+e2）/（a+b+c）
即OA=u（e1+e2），其中u=-bc/（a+b+c）
所以OA是角BAC的角平分線
同理可以證得，OB是角度ABC的角平分線，OC是角度ACB的角平分線，
所以O是三角形的內心

3設OA，OB是不共線的向量，若OP=aOA+bOB（a，b∈R），求三點A，B，P共線的充要條件 OA OB OP為向量

PA=OA-OP=（1-a）OA-bOB
PB=OB-OP=（1-b）OB-aOA
三點A，B，P共線
PA=nPB
（1-a）OA-bOB=n[（1-b）OB-aOA]
-b/（1-b）=（1-a）/（-a）
（1-a）（1-b）=ab
1-a-b=0
a+b=1

三個向量構成三角形的條件

三個向量兩兩不平行且它們得和為0.

為什麼三個非零向量共面的充要條件是由這三個向量組成的行列式等於0

很容易想啊.三個向量行列式為零，這說明三個向量組成的矩陣不滿秩，也就是說向量組的極大無關組裏，向量的個數小於3，就是說，一定有向量可以由其他向量線性表示，這不就是在說三個向量共面麼.