求函數y=（x+1）^99的導數

求函數y=（x+1）^99的導數

99x（x+1）^98

用取對數的方法求函數f（x）=x（x+1）……（x+99）（x+100）求f（0）的導數

lgf（x）=lgx+lg（x+1）+…lg（x+100）f'（x）/f（x）=1/x+1/（x+1）+..+1/（x+100）f'（x）=f（x）[1/x+1/（x+1）+…+1/（x+100）] =（x+1）…（x+100）+f（x）[1/（x+1）+..+1/（x+100）]f'（0）=100！+0=100！

f（x）在閉區間上連續，在開區間上可導，f（a）=f（b）=1，證明：存在c，d屬於（a，b）使得（d/c）^（n-1）=f（c）+ c/n*f'（c）

證明：記g（x）=x^nf（x），h（x）=x^n由初等函數性質知g（x），h（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理條件知存在ζ∈（a，b），使得g（b）-g（a）=g'（ζ)（b-a）即f（b）b^n-f（a）a^n=b^n-a^n=[nf（ζ)ζ^（n-1）+f'（ζ)ζ^n]（b-a）.（1）存在η∈（a…

設f（x）在【0，a】上連續，在（0，a）內可導，且f（a）=0，證明存在一點X屬於（0，a），使f（x）+x*f`（x）=0

構造輔助函數F（x）=xf（x）
F（0）=a F（a）=0
根據羅爾定理，在（0，a）上存在一點x使得F'（x）=0
即f（x）+xf'（x）=0

設f（x）在[0，a]上連續，在（0，a）內可導，且f（a）=0，證明：至少存在一點C∈（0，a），使得f（C）+Cf '（C）=0 後面是3f（C）+Cf '（C）=0

設g（x）= x^3 f（x）
則g（0）=g（a）= 0，根據中值定理，存在C，0

定義R上的函數滿足f（-x）=1/f（x）>0，又g（x）=f（x）+c（c為常數）在[a，b]上是單調增函數證明g（x）在[-b，-a]的單調

g（x）在[a，b]上是單調增函數
即a<=x1g（x1）f（x）=g（x）-c
所以f（x1）a<=x1則-b<=-x2<-x1<=-a
f（-x）-=1/f（x）>0
所以f（-x2）-f（-x1）
=1/f（x2）-1/f（x1）
=[f（x1）-f（x2）]/f（x1）f（x2）
1/f（x）>0，即f（x）>0
所以分母f（x1）f（x2）>0
f（x1）所以[f（x1）-f（x2）]/f（x1）f（x2）<0
即-b<=-x2<-x1<=-a時f（-x2）所以f（x）遞增
g（x）=f（x）+c
所以g（-x2）-g（-x1）=f（-x2）-f（-x1）<0
所以單調遞增