ｙ＝（ｘ＋１）＾９９の導関数を求める

ｙ＝（ｘ＋１）＾９９の導関数を求める

９９ｘ（ｘ＋１）＾９８

対数関数ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）．．． （ｘ＋９９）（ｘ＋１００）ｆ（０）の導関数を求める

ｌｇｆ（ｘ）＝ｌｇｘ＋ｌｇ（ｘ＋１）＋．．．ｌｇ（ｘ＋１００）ｆ＇（ｘ）／ｆ（ｘ）＝１／ｘ＋１／（ｘ＋１）＋．．＋１／（ｘ＋１）ｆ＇（ｘ）＝ｆ（ｘ）［１／ｘ＋１／（ｘ＋１）＋．．．＋１／（ｘ＋１）］＝（ｘ＋１）．．．（ｘ＋１００）＋ｆ（ｘ）［１／（ｘ＋１）＋．．＋１／（ｘ＋１）］ｆ＇（０）＝１００！ ＋０＝１００！

ｆ（ｘ）は閉区間で連続して、開区間上で導通可能で、ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝１である。 ｃ／ｎ＊ｆ＇（ｃ）

証明：ｇ（ｘ）＝ｘ＾ｎｆ（ｘ），ｈ（ｘ）＝ｘ＾ｎ初等関数の性質によりｇ（ｘ），ｈ（ｘ）が［ａ，ｂ］でラグランジュの中央値定理の条件を満たす（ａ，ｂ），ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）＝ｇ＇（）（ｂ－ａ）即ｆ（ｂ）ｂ＾ｎ－ｆ（ａ）ａ＾ｎ＝ｂ＾ｎ－ａ＾ｎ＝［ｎｆ（）＾（ｎ－１）＋ｆ＇（）＾ｎ］（ｂ－ａ）．（１）η∈（ａ．．．

ｆ（ｘ）を［０，ａ］で連続的に設定し、（０，ａ）で導通可能で、ｆ（ａ）＝０であることを証明します。

コンストラクタＦ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）
Ｆ（０）＝ａ　Ｆ（ａ）＝０
ローアの定理によれば、（０，ａ）上の点ｘが存在してＦ＇（ｘ）＝０
ｆ（ｘ）＋ｘｆ＇（ｘ）＝０

ｆ（ｘ）を［０，ａ］上で連続的に、（０，ａ）内で導通可能で、ｆ（ａ）＝０であることが証明されている。 後ろに３ｆ（Ｃ）＋Ｃｆ＇（Ｃ）＝０

ｇ（ｘ）＝ｘ＾３ｆ（ｘ）を設定します。
はｇ（０）＝ｇ（ａ）＝０で、中央値定理によればＣ０が存在する

Ｒを定義する関数は、ｆ（－ｘ）＝１／ｆ（ｘ）＞０、ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｃ（ｃは定数）を満たす［ａ，ｂ］上の単調増加関数であることを証明します。

ｇ（ｘ）は［ａ，ｂ］で単調増加関数です。
ａ＜＝ｘ１ｇ（ｘ１）ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｃ
従ってｆ（ｘ１）ａ＜＝ｘ１則－ｂ＜＝－ｘ２＜－ｘ１＜＝－ａ
ｆ（－ｘ）－＝１／ｆ（ｘ）＞０
ｆ（－ｘ２）－ｆ（－ｘ１）
＝１／ｆ（ｘ２）－１／ｆ（ｘ１）
＝［ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）］／ｆ（ｘ１）ｆ（ｘ２）
１／ｆ（ｘ）＞０、すなわちｆ（ｘ）＞０
したがって、分母ｆ（ｘ１）ｆ（ｘ２）＞０
ｆ（ｘ１）だから［ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）］／ｆ（ｘ１）ｆ（ｘ２）＜０
すなわち－ｂ＜＝－ｘ２＜－ｘ１＜＝－ａ時ｆ（－ｘ２）だからｆ（ｘ）が増える
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｃ
だからｇ（－ｘ２）－ｇ（－ｘ１）＝ｆ（－ｘ２）－ｆ（－ｘ１）＜０
単調増加