證明函數F（x）=lnx/x在（0，e）上是增函數

證明函數F（x）=lnx/x在（0，e）上是增函數

F`（x）=（1/x*x-lnx）/x^2=（1-lnx）/x^2
（0，e），lnx＜1
1-lnx＞0 x^2＞0，即F`（x）＞0
函數F（x）=lnx/x在（0，e）上是增函數

函數f（x）=（a+1）lnx+ax*x+1，設a小於等於-2，證明任意x1，x2大於0，|f（x1）-f（x2）|大於等於4|x1-x2|

f（x）=（a+1）lnx+ax^2+1
則f'（x）=（a+1）/x+2ax
由a<=-2，x>0得
（a+1）/x<0,2ax<0
則|f'（x）|=|（a+1）/x+2ax|=|（a+1）/x|+|2ax|>=2根號[（a+1）/x*2ax]=2根號[2（a+1）a]
而y=（a+1）a在a<=2時為减函數，ymin=（-2+1）（-2）=2
則|f'（x）|=2根號[2（a+1）a]>=2根號[2*2]=4
則有|f（x1）-f（x2）|>=4|x1-x2|成立

已知函數f（x）=lnx-ax，a為常數.若函數f（x）有兩個零點x1，x2，試證明x1x2＞e^2

先求導y'=1/x-a，令y'=0，x=1/a，可得函數在1/a處取得最大值為-lna+1>0，得00就可得x2>2/a-x1
設函數g（x）=ln（2/a-x）-a（2/a-x）-（lnx-ax），
g'（x）=1/（x-2/a）+2a-1/x=2a（x-1/a）^2/[x（x-2/a）]，可得在（0,2/a）上g'（x）0，
所以ln（2/a-x1）-a（2/a-x1）>0，得證.

已知a為常數，函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x1，x2（x10 f（x2）>-1/2 B、f（x1）

已知a為常數，函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x1，x2（x10 f（x2）>-1/2 B、f（x1）f（1/e）=-1/e當a≠0時，f（x）=xlnx-ax^2==> f’（x）=lnx-2ax+1=0==>a=（lnx+1）/（2x）設a（x）=（lnx+1）/（2x）令a’（x）= -2lnx/（4x^2）=0==>x=1當01時…

已知函數f（x）=lnx-ax+（1-a）/x-1，設g（x）=x^2-2bx+4時，當a=1/4時，若對任意0＜X1＜2，存在1≤X2≤2使f（x1） 使f（x1）≥g（x2），求b的取值範圍

問題只需轉化為minf（x1）>=maxg（x2）.當a=1/4，f（x）=lnx-x/4+3/（4x）-1.求導得f'（x）=-（x-3）（x-1）/（4x^2）.令f'（x）=0，得唯一駐點x=1，（注意到0

急！已知函數f（x）=a/x-1+lnx，∃x0＞0，使f（x0）≤0成立，求實數a的取值範圍. 用函數方法做，即對f（x）求導，不要用分離常數的方法做，謝謝. 求詳細過程，謝謝！

已知函數f（x）=a/x-1+lnx，∃x0＞0，使f（x0）≤0成立，求實數a的取值範圍.
解析：∵函數f（x）=a/x-1+lnx，其定義域為x>0
令f’（x）=-a/x^2+1/x=（x-a）/x^2=0==>x=a
當a0，∴f（x）在定義域內單調增；
當a>0時
f’’（x）=2a/x^3-1/x^2==>f”（a）>0
∴f（x）在x=a處取極小值
∵∃x0＞0，使f（x0）≤0成立
F（a）=a/a-1+lna=lnaa