設函數f（x）在區間[0,1]上二階可導，且f（0）=0，f''（x）＞0，證明：f（x）/x在（0,1]上是單調增函數

設函數f（x）在區間[0,1]上二階可導，且f（0）=0，f''（x）＞0，證明：f（x）/x在（0,1]上是單調增函數

因為f''（x）>0
所以f'（x）為增函數
又有f（0）=0則f'（x）在（0,1]內單調遞增且f‘（x）>0
所以命題得證

函數f（x）在區間[0,2a]上連續，且f（0）=f（2a），證明；在[0，a]上至少存在一點使得f（x）=f（x+a）

設F（x）=f（x）-f（x+a）
則F（0）=f（0）-f（a）
F（a）=f（a）-f（2a）=f（a）-f（0）
所以F（0）×F（a）小於0
根據零點定理有E使F（E）=0即結果

證明二次函數f（x）=ax＾2+bx+c（a＜0）在區間（—∞，—b/2a〕上是增函數.

—b/2a是函數的定點x的座標，
a小於0，所以函數是一個開口向下的抛物線，在x=-b/2a有最大值
所以f（x）=ax＾2+bx+c（a＜0）在區間（—∞，—b/2a〕上是增函數.

已知函數f（x）＝（x+1）lnx x−1（x＞0且x≠1） （1）討論函數f（x）的單調性 （2）證明：f（x）＞2.

（1）∵f（x）＝（x+1）lnxx−1（x＞0且x≠1）∴f′（x）＝−2lnx+x−1x（x−1）2令g（x）=−2lnx+x−1x則g′（x）=−2x+1+1x2=（x−1x）2由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）單調遞增，又∵g（1）=0故當x∈（0，1）時，g…

已知函數f（x）=（lnx+a）/x（a∈R）當a=1，且x≥1時，證明f（x）≤1

只需要證明lnx+1≤x就可以了
令g（x）=lnx - x +1
g'（x）=1/x-1
而x>=1時，g'（x）

證明函數f（x）=lnx-x2+x只有一個零點.

證明：f（x）=lnx-x2+x，其定義域是（0，+∞），∴f′（x）＝1x−2x+1＝−2x2−x−1x令f'（x）=0，即−2x2−x−1x＝0，解得x＝−12或x=1.∵x＞0，∴x＝−12舍去.當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0.∴…