ｆ（ｘ）を区間［０，１］上の二階導関数に設定し、ｆ（０）＝０，ｆ＇＇（ｘ）＞０を証明します。

ｆ（ｘ）を区間［０，１］上の二階導関数に設定し、ｆ（０）＝０，ｆ＇＇（ｘ）＞０を証明します。

ｆ＇＇（ｘ）＞０のため
従ってｆ＇（ｘ）は増関数
ｆ（０）＝０の場合、ｆ＇（ｘ）は（０，１］内で単調増加し、ｆ‘（ｘ）＞０
命題は

関数ｆ（ｘ）は区間［０，２ａ］上で連続し、かつｆ（０）＝ｆ（２ａ）であることを証明する。

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋ａ）を設定
はＦ（０）＝ｆ（０）－ｆ（ａ）
Ｆ（ａ）＝ｆ（ａ）－ｆ（２ａ）＝ｆ（ａ）－ｆ（０）
したがってＦ（０）×Ｆ（ａ）は０より小さい
零点定理によれば、ＥはＦ（Ｅ）＝０である

二次関数ｆ（ｘ）＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ（ａ）が区間（－∞，—ｂ／２ａ〕上にあることを証明する。

—ｂ／２ａは関数の点ｘの座標であり、
ａは０より小さいので、関数はｘ＝－ｂ／２ａの最大値を持つオープンダウンの放物線です。
従って、ｆ（ｘ）＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ（ａ）は区間（－∞，－ｂ／２ａ）上にある。

既知の関数ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）ｌｎｘ ｘ−１（ｘ＞０、ｘ＝１） （１）関数ｆ（ｘ）の単調性について議論する （２）証明：ｆ（ｘ）＞２．

（１）ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）ｌｎｘｘ−１（ｘ＞０、ｘ＝１）ｆ′（ｘ）＝−２ｌｎｘ＋ｘ−１ｘ（ｘ−１）２ｇ（ｘ）＝−２ｌｎｘ＋ｘ−１ｘｇ′（ｘ）＝−２ｘ＋１＋１ｘ２＝（ｘ−１ｘ）２ｇ′（ｘ）≥０≥０で恒常的に形成され、ｇ（ｘ）は（０，＋∞）で単調に増加し、ｇ（１）＝０のためにｘ∈（０，１）でｇ．．．

既知の関数ｆ（ｘ）＝（ｌｎｘ＋ａ）／ｘ（ａ∈Ｒ）ａ＝１，かつｘ≥１の場合，ｆ（ｘ）≤１を証明する

ｌｎｘ＋１≤ｘを証明するだけです
令ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ＋１
ｇ＇（ｘ）＝１／ｘ－１
ｘ＞＝１時、ｇ＇（ｘ）

証明関数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ２＋ｘは１つのゼロです。

証明：ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ２＋ｘ（０，＋∞），ｆ′（ｘ）＝１ｘ−２ｘ＋１＝−２ｘ２−ｘ−１ｘ＝０、すなわち−２ｘ２−ｘ−１ｘ＝０、ｘ＝−１２、ｘ＝１、ｘ＞０、ｘ＝−１２、０＜ｘ＜１时，ｆ＇（ｘ）＞０、ｘ＞１、ｆ＇（ｘ）＜０．．．．