選修4-1：平面幾何如圖AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長線相交於點E，EF垂直BA的延長線於點F.（I）求證：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=3，EA=2AC，求AF的長.

選修4-1：平面幾何如圖AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長線相交於點E，EF垂直BA的延長線於點F.（I）求證：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=3，EA=2AC，求AF的長.

（Ⅰ）證明：連接AD，BC.因為AB是⊙O的直徑，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，故A，D，E，F四點共圓，∴∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，所以△EFA∽△BCA，所以AFAC＝AEAB所以AF×AB=AC×…
如圖三角形ABC中D為AC上一點且AD=CD+BC過點D做AC垂線交外圓與M求M為優弧Ab中點
證明：作AC的延長線到N，使得CN=BC.連接BN，AM，MN，MB.
∵AD=DC+BC=DC+CN=DN∴DM是AN的垂直平分線∴AM=MN
∴∠MAN=∠MNA
又∵∠MAC=∠MBC（因為所對的弧相等）
∴∠MNA=∠MBC
又∵BC=CN
∴∠CBN=∠CNB
∴∠MBC+∠CBN=∠MNA+∠CNB
∴MB=MN又∵MA=MN∴MA=MB
∴弧MA=弧MB
已知圓O的半徑為2，以圓O的弦BA為直徑作圓M，點C是圓O優弧ACB上的一個動點（不與點B，A重合），連接CA，BC，分別與圓M相交與點D，E，連接DE，若BA=2倍根號3.求角C度數，求DE的長
C是60°DE長為根號3.先畫出大致圖形，根據相關數值可求出圓心角AOB為120°，圓周角C為圓心角的二分之一.連接AE、BD，在圓M內有角ADB與角AEB均為90°.直角三角形ACE中，角C為60°，有CE=1\2AC，同理三角形BCD中，CD=1\2BC，三角形CDE中，CosC=（CD^2+CE^2-DE^2）\（CD*CE）.三角形ABC中，CosC=（AC^2+BC^2-AB^2）\（AC*BC），代入相關關係式及相關數值，可得4DE^2=AB^2，即可得DE=1\2AB【手打的，沒錯的話就採納吧，親】
圓P與圓O相交於A.B兩點，圓P經過圓心O，點C是圓P的優弧AB上任意1點，連接AB，AC，BC，OC
同是天涯淪落人啊.你是要這些答案嗎？（1）指出圖中與角ACO相等的一個角；∠ACO=∠BCO（2）當點C在圓P什麼位置時，直線CA與圓O相切？說明理由.當點在圓O上點D位置時，直線CA與圓O相切連接OP並延長，交圓O於點D連AD、OA…
（1）連接OA，OB.
在⊙O中，∵OA=OB，
∴
OA
=
OB
，
∴∠ACO=∠BCO；
（2）連接OP，並延長與⊙P交於點D.
若點C在點D位置時，直線CA與⊙O相切
理由：連接AD，OA，則∠DAO=90°
∴OA⊥DA
∴DA與⊙O相切
…展開
（1）連接OA，OB.
在⊙O中，∵OA=OB，
∴
OA
=
OB
，
∴∠ACO=∠BCO；
（2）連接OP，並延長與⊙P交於點D.
若點C在點D位置時，直線CA與⊙O相切
理由：連接AD，OA，則∠DAO=90°
∴OA⊥DA
∴DA與⊙O相切
即點C在點D位置時，直線CA與⊙O相切.
（3）當∠ACB=60°時，兩圓半徑相等；
理由：作直徑OD，連接BD，AD，OA，
∵∠ADB=∠ACB=60°，PO垂直平分AB，
∴
AO
=
BO
，
∵∠ADO=∠BDO，
∴∠ADO=30°，
∵OD是直徑，
∴∠DAO=90°，
∴OA=
1
2
OD，
∴OA=PO，
∴當∠ACB=60°時，兩圓半徑相等.收起
已知圓O的半徑為2，以圓O的弦AB為直徑作圓M謝謝了，大神幫忙啊
已知圓O的半徑為2，以圓O的弦AB為直徑作圓M，若AB=2倍根三，點C是圓O優弧AB上的一個動點（不與點A、點B重合），連接AC、BC，分別與圓M相交於點D、點E，連接DE. 1、求C的度數. 2、求DE的長. 3、如果記tanABC=y，AD/DC=x（x大於0，小於3），那麼在點C的運動過程中，試用含x的代數式表示y.
在三角形AOB中，作OH垂直AB，垂足為H，由垂徑分弦定理，AH=BH=0.5AB=根號3又因為OA為半徑，OA=2，所以，在直角三角形AOH中，求得角AOH=60度；同理，角BOH=60度，所以角AOB=120度因為角C是劣弧AB所對的園內角而角AOB是劣弧AB所對的圓心角；所以角C=0.5角AOB=60度
已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，M為AB上一點，過點M作DM⊥AB，交弦AC於點E，交⊙O於點F，且DC=DE.（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）如果DM=15，CE=10，cos∠AEM＝513，求⊙O半徑的長.
（1）證明：如圖，連結OC，∵OA=OC，DC=DE，∴∠A=∠OCA，∠DCE=∠DEC，又∵DM⊥AB，∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°，∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切線；（2）如圖所示，過D作DG⊥AC，連接CB，∵DC=DE，CE=10，∴EG=12CE=5，∵cos∠DEG=cos∠AEM=EGDE=513，∴DE=13，∴DG=DE2−EG2=12，∵DM=5，∴EM=DM-DE=2，∵∠AME=∠DGE=90°，∠AEM=∠DEG，∴△AEM∽△DEG，∴AMDG=EMEG=AEDE，即AM12=25=AE13，∴AM=245，AE=265，∴AC=AE+EC=765，∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴cosA=AMAE=ACAB，∴AB=24715，則圓O的半徑為12AB=24730.
如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB於點M，過點B作BE‖CD，交AC的延長線於點E，連結BC.（1）求證：BE為⊙O的切線；（2）如果CD=6，BM:CM=1:2，求⊙O的直徑.
（1）證明：∵BE‖CD，AB⊥CD，∴AB⊥BE.∵AB是⊙O的直徑，∴BE為⊙O的切線.（2）∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，∴CM=12CD，BC＝BD，CM=12CD=3，∴∠BAC=∠BCD.∵BM:CM=1:2，∴BM=32，∵CM:AM=1:2.∴AM=6.∴AB=AM+BM=7.5.
兩個同心圓中，大圓的半徑為8，小圓的半徑為4，AB為大圓的弦，若AB=8根號3.請判斷小圓與直線AB的位置關係，並
給予證明.
小圓與直線AB的位置關係：相切.
證明：設AB與小圓交點為C
在△ACO中OA=大圓的半徑=8 OC=小圓的半徑=4
OA^2-OC^2=8^2-4^2=48
又（AB/2）^2=（8√3/2）^2=48
則有AC^2=OA^2-OC^2
從而∠ACO=90度
所有小圓直徑⊥直線AB
則小圓與直線AB的位置關係：相切.
已知兩個同心圓，大圓的弦AB切小圓於點T，大圓的弦AC交小圓於D，E兩點，AB=2倍根號3AD=3/2，求弦AC
∵AB切小圓於T，∴AT＝AB/2＝3/4.又3AD＝3/2，∴AD＝1/2.
∴由切割線定理，有：AD×AC＝AT^2，∴（1/2）AC＝（3/4）^2，∴AC＝9/8.
如圖，已知兩個同心圓，大圓的弦AB切小圓於點T，大圓的弦AC交小圓於D，E兩點，AB=2根號3，AD=3/2，求弦AC的
求弦AC的長.
過圓心做AC的垂線，垂足為H，設垂線長為h，DH長為x，大圓和小圓半徑分別為R和r.
則有：
R^2-h^2=（3/2+x）^2
R^2-r^2=3
r^2-h^2=x^2
將後兩式相加聯立一式得：3+x^2=（3/2+x）^2，解得x=1/4
故AC=3+2x=7/2
∵AB切小圓於T，∴AT＝AB/2＝3/4。又3AD＝3/2，∴AD＝1/2。
∴由切割線定理，有：AD×AC＝AT^2，∴（1/2）AC＝（3/4）^2，∴AC＝9/8。