如圖，點I是△ABC的內心，AI的延長線與BC相交於點D，與△ABC的外接圓相交於點E，求證EB=EC=EI

如圖，點I是△ABC的內心，AI的延長線與BC相交於點D，與△ABC的外接圓相交於點E，求證EB=EC=EI

EB=EC是顯而易見的，等角對等邊.
因為I為內心
BAI=CAI
ABI=CBI
BIE=BAI+ABI=CAI+CBI=ABC
故三角形BIE為等腰三角形
EI=EB
EB=EC=EI

如圖，點I是△ABC的內心，AI的延長線交邊BC於點D，交△ABC外接圓於點E.（1）求證：IE=BE；（2）若IE=4，AE=8，求DE的長.

（1）證明：連接IB.∵點I是△ABC的內心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD.又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，∴BE=IE.（2）在△BED和△AEB中，∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB.∴△BED∽△AEB，∴BEAE＝DEBE，∵IE=4，AE=8，∴BE=4，即DE=BE2AE=2.

如圖，I是△ABC的內心，AI交BC於D，交△ABC外接圓於E，是判斷IE.BE的大小關係，並說明理由.
-------------A-----
'
'
'--------I
'
B-----D------------C
'
'
'
--E

相等.
由題，∠BIE=∠BEI+∠EBI，而I為△ABC內心，故∠BEI=∠EIC=∠EBC.
而同理，有∠EBI=∠IBC，故∠EBI+∠BEI=∠EBC+∠IBC，即∠BIE=∠EBI.
故IE=BE.