如圖點I是三角形ABC的內心，AI交邊BC於點E，交三角形ABC外接圓於點D，求證（1DB=DI（2ID平方=DE*AD

如圖點I是三角形ABC的內心，AI交邊BC於點E，交三角形ABC外接圓於點D，求證（1DB=DI（2ID平方=DE*AD

證明：（1）∵點I是⊿ABC的內心.
∴∠CBI=∠ABI；∠CBD=∠CAD=∠BAI.
∴∠CBI+∠CBD=∠ABI+∠BAI，即∠DBI=∠DIB.
∴DB=DI.
（2）∵∠CBD=∠CAD=∠BAD；∠BDE=∠ADB.
∴⊿BDE∽⊿ADB，BD/AD=DE/DB，BD*DB=DE*AD.
即：ID²；=DE*AD.

點I是三角形的內心，線段AI的延長線交三角形ABC外接圓於點D，交BC邊為點E，求ID=BD

證明：
∵∠BID=∠IBA+∠BAI（外角等於不相鄰二內角和）
∵I是內心，即是角平分線的交點，
∴BI平分∠B，AI平分∠A，
∴∠BID=（∠A+∠B）/2
∵∠IBD=∠IBE+∠EBD，∠EBD=∠A/2（同弧圓周角相等）
∴∠IBD=∠BID
∴△DBI是等腰三角形，
∴ID=BD.

I為圓心，三角形ABC內心，AI延長線交BC於點E，交三角形ABC外接圓於點D，若ID=4，AD=8，則DE=？
I為圓心，I也是三角形ABC內心，AI延長線交BC於點E，交三角形ABC外接圓於點D，若ID=4，AD=8，則DE=？

DE=2
ID=4，AD=8即I是AD中點.外園圓心與I的連線與AD垂直，只有此三角形為等邊三角形時才能符合題意.所以DE=2