如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD‖BC，AB=CD，AE⊥BC於E，∠B=60°，∠DAC=45°，AC＝6，求梯形ABCD的周長？

如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD‖BC，AB=CD，AE⊥BC於E，∠B=60°，∠DAC=45°，AC＝6，求梯形ABCD的周長？

∵AD‖BC，∠DAC=45°，∴∠ACB=45°∵AE⊥BC，AC=6，∴AE=EC=3，∵∠B=60°，∴BE=1，AB=2，∴DC=2，作DF⊥BC於點F，∴四邊形AEFD是矩形，∴AE=DF，∵∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE=FC=1，∴EF=3-1，∵AD‖BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE‖DF，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴AD=EF=3-1，∴梯形ABCD的周長為：AD+DC+BC+AB=3-1+2+2+2+3-1=4+23.答：梯形ABCD的周長是4+23.

如圖，等腰梯形ABCD中，AD平行BC，AD=AB，BD垂直CD，則角A=

角A=角ADC=角ADB+90
角ADB=角ABD
角ADB+角ABD+角A=180
角A+2角ADB=180
3角ADB+90=180
角ADB=30
角A=180-2*30=120

如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點，點Q在線段BC上（不過B點），設BQ=k，當k=______時，以Q、C、P為頂點的三角形與△ADP相似.

根據題意，當Q點與B重合時，△ADP≌△PCQ，此時k=0；當△ADP∽△PCQ時，AD:DP=PC:CQ，∵正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點，∴AD=1，PD=0.5，PC=0.5，CQ=1-k，即10.5=0.51−k，解得k=0.75.故填答案為：0或0.75.

如圖，正方形ABCD中，其邊長為1，P是CD的中點，點Q在線段BC上，當BQ為何值時，△ADP與△QCP相似？

三角形對應邊比值相等，∴ADCP=DPCQ或ADCQ=DPCP，△ADP與△QCP相似，當ADCP=DPCQ時，BQ=34，∠D=∠C，所以△ADP與△QCP相似.當ADCQ=DPCP時，BQ=0時，△ADP與△QCP相似.故當BQ=34或0時，即可判定，△ADP與△QCP相似.

如圖，正方形ABCD中，其邊長為1，P是CD的中點，點Q在線段BC上，當BQ為何值時，△ADP與△QCP相似？

三角形對應邊比值相等，∴ADCP=DPCQ或ADCQ=DPCP，△ADP與△QCP相似，當ADCP=DPCQ時，BQ=34，∠D=∠C，所以△ADP與△QCP相似.當ADCQ=DPCP時，BQ=0時，△ADP與△QCP相似.故當BQ=34或0時，即可判定，△ADP與△QCP相似.

在三角形abc中，AB=AC，AD垂直BC於點D，點P在BC上，PE垂直BC，交BA的延長線於點E，交AC於點F求證2AD=PE+PF

證明：
作GC⊥BC交BE延長線於G，作EH⊥GC於H
則∠GEH=∠B=∠FCD
EH=CP
∴Rt△GEH≌Rt△FCP
∴HG=PF
∴PE+PF=CH+HG=CG
又等腰三角形底邊的垂線就是中線
∴AD是△BCG的中位線
∴2AD=CG=PE+PF

已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AC上一點，過D作DE⊥BC於E，與BA的延長線交於F，求證：AD=AF

證明：
∵DE⊥BC
∴∠FEB=∠DEC=90º；
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠B+∠F=90º；，∠C+∠CDE=90º；
∴∠F=∠CDE=∠FDA
∴AD=AF

如圖，在△ABC中，AB=AC，E在AC上，且AD=AE，DE的延長線與BC相交於點F.求證：DF⊥BC.

證明：如圖，過A作AM⊥BC於M，∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAM，∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，∴∠BAM=∠D，∴DF‖AM，∵AM⊥BC，∴DF⊥BC.

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，則∠A的度數是（）
A. 30°B. 36°C. 45°D. 50°

設∠EBD=x°，∵BE=DE，∴∠EDB=∠EBD=x°，∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，∵AD=DE，∴∠A=∠AED=2x°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴2x+3x+3x=180，解得：x=22.5，∴∠A=2x°=45°.故選C.

如圖，在△ABC中，∠BAC=108゜，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC於D，求證：BC=CD+AB.（用兩種方法）

法1：（截長法）在BC上取點E使BE=BA，連DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，在△ABD和△EBD中，AB＝EB∠ABD＝∠EBDBD＝BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠BAC=∠BED=108°，AB=EB，∴∠DEC=72゜，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=36°，∴∠CDE=72°，∴∠CDE=∠CED=72°，∴CD=CE，則BC=BE+EC=AB+CD；法2：（補短法）延長BA至E，使BE=BC，連DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，在△EBD和△CBD中，EB＝CB∠ABD＝∠CBDBD＝BD，∴△EBD≌△CBD（SAS），∴DE=DC，∠E=∠C=36°，∵∠EAD=72°，∴∠EDA=∠EAD=72°，∴EA=ED，∴CD=DE=AE，則BC=BE=AB+AE=AB+CD.