已知：如圖,在直角三角形ABC中,角C=90度,點O為圓心、OA長為半徑的圓與AC,AB分別交於點D.E、且角CBD=角A.BD為圓O的切線.求：如果AD:AO=8:5 ,BC=2 ,求BD的長.

已知：如圖,在直角三角形ABC中,角C=90度,點O為圓心、OA長為半徑的圓與AC,AB分別交於點D.E、且角CBD=角A.BD為圓O的切線.求：如果AD:AO=8:5 ,BC=2 ,求BD的長.

做OH垂直於AD,因為DB為切線,所以∠BDO=90度,所以∠ODH+∠BDC=90因為∠CBD+∠BDC=90,所以∠ODH=∠CBD,因為∠C=90,所以三角形BDC與三角形DOH相似\x0d所以BC:DB=DH:DO\x0d因為OA=DO,OH為AD上的高,所以AH=DH,所以DH:DO=4:5 所以BC:DB=4:5 所以BD=5/4BC

如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊AB上一點，以O為圓心，OA為半徑的圓與BC相切於點D，與AB相交於點E． （1）試判斷AD是否平分∠BAC？並說明理由． （2）若BD=3BE，CD=3，求⊙O的半徑．

（1）判斷：AD平分∠BAC．
證明：
證法一：連線OD；
∵BC切⊙O於D，
∴OD⊥BC，
又△ABC為Rt△，且∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠1=∠2；
又∵OA=OD，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3．
證法二：連線ED；
∵AE是⊙O直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠3+∠AED=90°；
又∵∠C=90°，
∴∠1+∠ADC=90°，
又∵∠AED=∠ADC，
∴∠1=∠3．


證法三：連線EF，DF；
∵AE是⊙O直徑，
∴∠AFE=90°，
又∵∠ACE=90°，
∴∠AFE=∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠4=∠5；
又∵∠3=∠4，∠1=∠5，
∴∠1=∠3．
（2）
解法一：設BE=x，則BD=3BE=3x，
據切割線定理得BD2=BE×BA，
得AB=9x，OA=OE=4x；
又∵OD∥AC，
∴OB
OA＝BD
CD，即：5x
4x＝3x
3，
∴x=5
4，
∴⊙O的半徑為5．
解法二：
如圖，過O作OG⊥AC，又AC⊥BC，OD⊥BC，
則四邊形ODCG為矩形．
∴OG=CD=3，OG∥BC；
又OG∥BC，
∴OG
BC＝OA
AB，
∴3
3x+3＝4x
9x，
∴x=5
4，x=0，（捨去）
∴⊙O的半徑為5．
備註：本解法是在解法一得AB=9x，OA=OE=4x的基礎上進行的．

如圖,圓o的半徑為1,等腰直角三角形ABC

問題不全.而且沒圖

三角形ABC中 角BAC=90度 AB=AC=2又根號2 以A做半徑為1的圓 點O在BC邊上移動(不與A ,B重合) 以O為半徑做圓O 當圓O與圓A相切時 BO等於多少?

（1）∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC= 22,
∴△ABC為等腰直角三角形,
∴BC=4,
∵⊙A與BC相切於點D,
∴AD=r,AD⊥BC,
∴AD為BC邊上的中線,
∴r=AD= 12BC=2,
（2）①作AD⊥BC於點D,
∵△ABC為等腰直角三角形,BC=4,
∴AD為BC邊上的中線,
∴AD= 12BC=2,
∴S△AOC= 12OC•AD,
∵BO=x,△AOC的面積為y,
∴y=4-x（0＜x＜4）,
②過O點作OE⊥AB交AB於E,
∵⊙A的半徑為1,OB=x,
當兩圓外切時,
∴OA=1+x,
∵△ABC為等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
∴BE=OE= 22x,
∴在△AEO中,AO2=AE2+OE2=（AB-BE）2+OE2,
∴（1+x）2=（2 2- 22x）2+（ 22x）2,
∴x= 76,
∵△AOC面積=y=4-x,
∴△AOC面積= 176；
當兩圓內切時,
∴OA=x-1,
∵AO2=AE2+OE2=（AB-BE）2+OE2,
∴（x-1）2=（2 2- 22x）2+（ 22x）2,
∴x= 72,
∴△AOC面積=y=4-x=4- 72= 12,
∴△AOC面積為 176或 12．

在三角形ABC中,AB=根號三,AC=2,若O為△ABC內部一點,且 向量OA+OB+OC=0向量,則向量AO*BC=?

AB = OB -OA ,AC = OC -OA ,∴ AB + AC = OB + OC -2 OA =-3 OA ,
∴ OA =-AB + AC 3 ,
作平行四邊形ABDC,則O在AD的三等分點 處且離A近,
故AOB面積為ABDC面積一半的 1 3 ,即ABC
面積的 1 3 ,
∵ AB • AC =2 3 ,∴| AB || AC |=4,∴△ABC面積為1,
∴△OBA的面積為 1 3 ．

O是三角形ABC的外心,E為三角形內一點,且滿足向量OE=向量OA+向量OB+向量OC RT 求證 向量AE垂直於向量BC (或者說求證E時垂心)

向量AE=向量OE-向量OA=向量OB+向量OC（由已知條件得出）
向量BC=向量OC-向量OB
則有向量AE*向量BC=OC的平方-OB的平方=0 （O是外心 OC=OB）
AE垂直BC

如圖，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC內一點，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度數．

延長BO交AC於E，
∵∠A=50°，∠ABO=20°，
∴∠1=50°+20°=70°，
∵∠ACO=30°，
∴∠BOC=∠1+∠ACO=70°+30°=100°

已知在如圖△ABC中,AC=BC,∠ACB=80°O為△ABC內一點,∠OAB=10°,∠OBA＝30°,那麼∠ACO= 有輔助線最好來個圖

作正△CAQ,連結BQ,依題意易得：∠BAQ=60°- 50°=10°=∠OAB；∠QCB=80°-60°=20°； CQ = CA = CB所以∠CBQ=80°,∠ABQ = ∠CBQ - ∠CBA = 80°-50°=30°,所以∠ABQ=∠OBA,所以△OAB≌△QAB,所以AO = AQ = AC而∠...

三角形ABC中,AB是底,AC等於BC,角ACB為80度,O為三角形內一點,角OAB為10度,角ABO為30度,問角ACO為多少?

三角形ABC中,AC=CB,角ACB=80度,點O為三角形內一點,且角OAB=10度,角ABO=20度,求角ACO的度數.思路分析 為證結論,先設法在圖中造出60°角．由已知可得∠CBO=30°,將△OBC沿BC作對稱變換變為△O′BC,因此∠OBO′=60°,△...

AC=BC=5角ACB=80度,O為ABC中一點,角OAB=60度,角OBA=30度,則AB長 kuai!

不可能吧,角CAB=50度,角OAB怎麼可能為60度?