已知函數f（x）=x2-1 x，x∈（1，2]， （Ⅰ）判斷f（x）的單調性，並用定義證明你的結論； （Ⅱ）求f（x）的值域.

已知函數f（x）=x2-1 x，x∈（1，2]， （Ⅰ）判斷f（x）的單調性，並用定義證明你的結論； （Ⅱ）求f（x）的值域.

（Ⅰ）f（x）在（1，2]上為增函數.證明如下：設x1，x2是區間（1，2]上的任意兩個實數且x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=x12-1x1-x22+1x2=（x1-x2）（x1+x2）-x2-x1x1x2=（x1-x2）（x1+x2+1x1x2）∵1＜x1＜x2≤2∴x1+x2+1x1…

如何證明函數y=1/x在（0,2）上無界

反證法：
假設1/x在（0,2）上有界，不妨設M>2
則|1/x|≤M
取x=1/（2M）
則|1/x|=2M>M
與假設衝突，
所以，假設不成立
所以函數y=1/x在（0,2）上無界

函數f（x）=（1/3）^（x^2-2x）的單調性，並求值域.

令t（x）=x²-2x=（x-1）²-1
f（t）=（1/3）^t為减函數
當（-∞，1]時t（x）為减函數f（t）=（1/3）^t為减函數所以此時f（x）為增函數
當[1，+∞）時t（x）為增函數f（t）=（1/3）^t為减函數所以此時f（x）為减函數
所以函數增區間（-∞，1]减區間[1，+∞）
當x=1時f（1）=3
值域（0,3]

已知f（x）=2^x-1 / 2^x+1 .（1）求函數的值域；（2）令g（x）=x^2 / 2f（x）判斷函數的奇偶性，並證明 已知f（x）=2^x-1 / 2^x+1 .（1）求函數的值域；（2）令g（x）=x^2 / 2f（x）判斷函數的奇偶性，並證明

f（x）=（2^x+1-2）/（2^x+1）=1-2/（2^x+1）∵2^x是R上的增函數，值域為（0，+00）∴2^x+1是R上的增函數，值域為（1，+00）∴1/（2^x+1）是R上的减函數，值域為（0,1）∴-2/（2^x+1）是R上的增函數，值域為（-2,0）∴1-2/（2^x+1）是R上的…

一道函數極限證明 若x->+∞及x->-∞時，函數f（x）的極限都存在且都等於A， 證明lim x->∞f（x）=A

對於任意給定的正數c>0.
因為x->+∞時，f（x）的極限存在且等於A，
則由極限定義知，對於c，存在正數X1>0，使得x>X1時，恒有|f（x）-A|-∞時，f（x）的極限存在且也等於A，故存在正數X2>0，使得x

設函數z=arctanx/y，求全微分dz

zx=1/（1+（x/y）²) *1/y =y/（x²+y²)
zy=1/（1+（x/y）²) *（-x/y²) =-x/（x²+y²)
所以
dz=y/（x²+y²)dx-x/（x²+y²)dy