已知sin（π/4+α）*sin（π/4-α）=1/4，α∈（π/4，π/2），求2sin^α+tanα-cotα-1的值

已知sin（π/4+α）*sin（π/4-α）=1/4，α∈（π/4，π/2），求2sin^α+tanα-cotα-1的值

sin（π/4+α）*sin（π/4-α）
=sin（π/4+α）*cos（π/4-α）
=1/2sin（π/2+2α）
=1/2cos2α
1/2cos2α=1/4
cos2α=1/2α∈（π/4，π/2），
所以2α=π/3
2sin^α+tanα-cotα-1
=2sin^α-1+sinα/cosα-cosα/sinα
=-cos2α+（sin^α-cos^α）/sinαcosα
=-cos2α-cos2α/（sin2α/2）
=-（cos2α+2cot2α）
=-（cosπ/3+2cotπ/3）
=-（1/2+2√3/3）
=-2√3/3-1/2

已知β是三角形的內角，且sinβ+cosβ=1/5求tanβ的值

根號2cos（β-45°）=1/5
cos（β-45°）=根號2/5
sin（β-45°）=根號3/5
tan（β-45°）=根號6/2=（tanβ-1）/（1+tanβ）
根號6+根號6tanβ=2tanβ-2
（2-根號6）tanβ=2+根號6
tanβ=（2+根號6）/（2-根號6）

已知tanα=1,3sinβ=sin（2α+β），求⑴tanα，⑵tan（α+β），⑶tan（α+β）/2，要求詳解.

1）因為tanα=1，囙此α=2π+π/4，sin（2α+β）=sin（π/2+β）=cosβ，由3sinβ=sin（2α+β）得tanβ=1/3
2）tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）=（1+1/3）/（1-1/3）=2
3）tan（α+β）=2tan（α+β）/2/（1-tan（α+β）/2^2），囙此tan（α+β）/2^2+tan（α+β）/2-1=0，
囙此tan（α+β）/2=（-1±√5）/2

β為銳角.且α，β滿足4tan*α/2=1-tan^2*α/2.3sinβ=sin（2α+β）求α+β

（1）.由正切的半型公式知2tana=1.===>tana=1/2.===>sin2a=4/5，cos2a=3/5.（2）3sinb=sin（2a+b）=sin2acosb+cos2asinb=（4/5）cosb+（3/5）sinb.===>tanb=1/3.（3）tan（a+b）=[tana+tanb]/（1-tanatanb）=1.===>a+b=π/4.

已知tanα=1.3sinβ=sin（2α+β）.求： 1.tanβ 2.tan（β+α） 3.tan（α+β）/2

1.
sin2α=2tanα/（1+（tanα）^2）=2/2=1
cos2α=[1-（tanα）^2]/[1+（tanα）^2]=0
3sinβ=sin（2α+β）=sin2αcosβ+cos2αsinβ=cosβ
所以tanβ=sinβ/cosβ=1/3
2.tan（β+α）=tanβ+tanα/（1-tanβ*tanα）=（4/3）/（1-1/3）=2
3.tan2x=2tanx/[1-（tanx）^2]
設x=（α+β）/2，y=tanx=tan[（α+β）/2]
所以2=tan2y=2y/（1-y^2）
解得y1=（根號5-1）/2 y2=（-根號5-1）/2

已知tan a =1 3sin（a+b）=sin（2a+b），求tan（a+b）的值.

tana=1
cosa=√2/2，sina=√2/2或cosa=-√2/2，sina=-√2/2
cos2a=0，sin2a=1 cos2a=0，sin2a=1
3sin（a+b）=sin（2a+b）
（3√2/2）（sinb+cosb）=cosb
3√2sinb=（2-3√2）cosb
tanb=（2-3√2）/3√2=√2/3-1
tan（a+b）=（tana+tanb）/（1-tanatanb）=（√2/3）/（1-（√2/3-1））=√2/（6-√2）

已知tan=1，sin（2α+β）=3sinβ，求tan（α+β）

sin（2α+β）=3sinβ
sin（α+β+α）=3sin（α+β-α）
sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα
2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα
兩邊同除以cos（α+β）cosα，得tan（α+β）=2tanα=2

已知3sinb=sin（2a+b），則tan（a+b）/tana=

3sinb=sin（2a+b）
3sin（a+b-a）=sin（a+b+a）
3[sin（a+b）cosa-cos（a+b）sina]=sin（a+b）cosa+cos（a+b）sina
sin（a+b）cosa=2cos（a+b）sina
tan（a+b）=2tana
tan（a+b）/tana=2

已知SIN（2A+B）=3SINB，求TAN（A+B）/TANA

2A+B=（A+B）+A，B=（A+B）-A，所以由SIN（2A+B）=3SINB得
sin（A+B）cosA＋cos（A+B）sinA＝3sin（A+B）cosA-3cos（A+B）sinA
2sin（A+B）cosA=4cos（A+B）sinA
tan（A+B）=2tanA
tan（A+B）/tanA＝2

已知tana=1,3sinB=sin（2a+B），求tan（a+b/2）

tana=1 a=kπ+π/4
3sinB=sin（2a+B）=sin（2kπ+π/2+B）=cosB
3sinB=cosB
sin^2B+cos^2B=1
cos^2B=9/10 sin^2B=1/10
sinB=√10/10 cosB=3√10/10
tan（a+b/2）=（1+tamB/2）/（1-tanB/2）=（cosB/2+sinB/2）/（cosB/2-sinB/2）
=（1+sinB）/cosB
=（√10+1）/3
sinB=-√10/10 cosB=-3√10/10
tan（a+b/2）=（1+tamB/2）/（1-tanB/2）=（cosB/2+sinB/2）/（cosB/2-sinB/2）
=（1+sinB）/cosB
=（-√10+1）/3