如圖，△ABC中，E是△ABC的內心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交於點D，求證：DE=DB.

如圖，△ABC中，E是△ABC的內心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交於點D，求證：DE=DB.

連接BE，
∵E為內心，
∴AE，BE分別為∠BAC，∠ABC的角平分線，
∴∠BED=∠BAE+∠EBA，∠EBA=∠EBC，∠BAE=∠EAC，
∴∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，
∵
CD=
CD，
∴∠EAC=∠CBD，
∴∠EBD=∠BED，
∴DE=BD.

如圖三角形ABC內接於圓O，AE是圓O的直徑AD垂直BC於點D，AE是圓O的直徑，求證：AB×AC=AD×AE

證明：
連結BE
∵AE是直徑
∴∠ABE=90°
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠ABE=∠ADC
∵∠E=∠C
∴△ABE∽△ADC
∴AB/AD=AE/AC
∴AB×AC=AD×AE

已知圓O的弦AB，CD的延長線相交於點P. PO是角APC的平分線，點M，N分別是弧AB，弧CD的中點.求證MN垂直於PO

連接OM、ON分別交AB、CD於E、F
M，N分別是弧AB，弧CD的中點，OM、ON分別是AB、CD的垂直平分線
即OE⊥AB，OF⊥CD
∵PO是∠APC的平分線
∠POE=∠POF
在△OMN中，OM=ON即△OMN為等腰三角形且∠POE=∠POF
OP是∠MON的平分線
則OP是△OMN為等腰三角形MN底邊上的高
即OP⊥MN

圓O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交於點P，E為圓上一點，弧AE=弧AC，DE交AB於點F，求證PF*PO=PA*PB 十分鐘，快.

證明：連結AE，AC，
因為角PDF是圓內接四邊形AEDC的一個外角，
所以角PDF=角EAC，
因為弧AE=弧AC，AB是圓O的直徑，
所以弧EB=弧CB，即：弧EBC=2弧CB，
所以圓周角EAC=圓心角COB，
所以角PDF=角COB，
又因為角P=角P，
所以三角形PDF相似於三角形POC，
所以PD/PO=PF/PC，
所以PF*PO=PC*PD
又由割線定理可知：PC*PD=PA*PB，
所以PF*PO=PA*PB.

已知 AB、 CD是同圓的兩段弧，且 AB=2 CD，則弦AB與2CD之間的關係為（） A. AB=2CD B. AB＜2CD C. AB＞2CD D.不能確定

如圖，在圓上截取弧DE=弧CD，則有：弧AB=弧CE
∴AB=CE
∵CD+DE=2CD＞CE=AB
∴AB＜2CD.
故選B.

已知：如圖，在⊙O中，弦AB=CD. 求證：（1）弧AC=弧BD； （2）∠AOC=∠BOD.

證明：（1）∵在⊙O中，弦AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∵弧BC=弧CB，
∴弧AC=弧BD；
（2）∵弧AC=弧BD，
∴∠AOC=∠BOD.

如圖，在圓O中，弧AC=弧BD，則探索弦AB與CD，角AOC與角BOD之間的數量關係

∵弧AC=弧BD，
∴∠AOC=∠BOD（同圓中，相等的弧所對的圓心角相等）
弦AB‖CD或AB=CD（因無圖形，只能列出兩種情况，具體可試圖而定）

圓O中，若弧AB=弧2CD，則弦AB、CD的關係是

CD 如圖，弧CD=弧BD，所以弧CD=1/2弧AB.可見，CD＜AB.
由於在△ADB中，CD+BD＞AB，所以AB＜2CD

圓O中，弦AB平行於弦CD，證明弧AC=弧BD怎麼證？如題

證明：連接AD角ADC=角BAD（AB平行CD，內錯角相等）則弧AC=弧BD（在同一個圓中，圓周角相等，所對的弧也相等）（基本是這個意思，我已經不讀書時間太長了，肯定是這個道理）

AB是圓O的直徑，弦CD交AB於點M，並且OM=CM，試確定弧BD與弧AC之間的數量關係，並說明理由

作圖，連接OC，並延長OC交圓E，連接AE EB AC CB，角DCE等於角EOB等於2ECB，角EAB等於ABC等於ECB等於2/3DCB所以，弧AC 2/3弧DB