已知點D是△ABC的邊BC上的點，且AB2=AD2+BD×DC.求證△ABC為等腰三角形.

已知點D是△ABC的邊BC上的點，且AB2=AD2+BD×DC.求證△ABC為等腰三角形.

取BC邊所在的直線為x軸，BC上的高為y軸，建立如圖所示的坐標系.
設A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0）.
由已知，AB2=AD2+BD×DC，
∴a2+b2=c2+d2+（d-b）（c-d），
∴（b+c）（b-d）=0.
∵b≠d，所以b=-c.
即O是BC的中點，△ABC為等腰三角形.

在三角形ABC中，D是BC上任意一點（與B，C不重合），且AB2=AD2+BD*DC，用解析法證明：三角形ABC是等腰三角形

解析法
過A作到BC的垂線交BC點為原點建立直角坐標系
設B點座標（b，0）
A點座標（0，a）
C點座標（c，0）
D點座標（d，0）
因題可得；
AB^2=a^2+b^2
AD^2=a^2+d^2
BD=（d-b）
DC=（c-d）
於是a^2+b^2=a^2+d^2+（d-b）*（c-d）
化簡：b=-c
又因為AC=a^2+c^2所以AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形.
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已知點D是△ABC的邊BC上的點，且AB2=AD2+BD×DC.求證△ABC為等腰三角形.

取BC邊所在的直線為x軸，BC上的高為y軸，建立如圖所示的坐標系.
設A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0）.
由已知，AB2=AD2+BD×DC，
∴a2+b2=c2+d2+（d-b）（c-d），
∴（b+c）（b-d）=0.
∵b≠d，所以b=-c.
即O是BC的中點，△ABC為等腰三角形.

已知，如圖△ABC中，AB=AC，D點在BC上，且BD=AD，DC=AC， （1）寫出圖中兩個等腰三角形； （2）求∠B的度數.

（1）△ABC，△ACD.△ABD，
由 AB=AC，可得△ABC是等腰三角形；由BD=AD，可得△ABD是等腰三角形；
由DC=AC得△ACD是等腰三角形.
（2）設∠B=x，
∵BD=AD，
∴∠DAB=∠B=x，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x，
∵DC=AC，
∴∠CAD=∠ADC=∠DAB+∠B=2x，
在△ACD中，由∠CAD+∠ADC+∠C=180°，得2x+2x+x=180，
解得x=36°，∴∠B=36°.
答：∠B的度數為36°.

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交於點H，已知EH=EB=3，AE=4，則CH的長是（） A. 4 B. 5 C. 1 D. 2

∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE，
∵在△HEA和△BEC中，
∠BAD＝∠BCE
∠AEH＝∠BEC＝90°
EH＝EB，
∴△HEA≌△BEC（AAS），
∴AE=EC=4，
則CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1.
故選C

已知圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使CD=AC，連結AD交圓O於點E，連結BE、CE，BE與AC交與點F.（1）求證：△ABE≌△CDE（2）若AE=6，DE=9，求EF的長.

1）因為四邊形ABCE內接於圓
所以∠DCE=∠BAE，∠CED=∠ABC
因為AB=AC
所以∠ABC=∠ACB
所以∠CED=∠ACB
因為∠ACB=∠AEB
所以∠CED=∠AEB
又因為AB=AC=CD
所以△ABE≌△CDE
 
2）因為△ABE≌△CDE
所以∠ABE=∠CDE
因為AC=CD
所以∠CDE=∠CAD
所以∠CAD=∠ABE
又∠CAD=∠CBE
所以∠CAD=∠CBE
所以BE=DE=6
因為∠BEA=∠AEF
所以△AEF∽△BEA
所以AE/BE=EF/EA
即6/9=EF/6
解得EF=4

如圖，在△ABC中，AD是角平分線，E是AD上的一點，且CE=CD， 求證：（1）∠B=∠ACE； （2）AB•AE=AC•AD.

證明：（1）∵AD是角平分線，
∴∠BAD=∠DAC，
∵CD=EC，
∴∠CDE=∠CED，
∴∠B+∠BAD=∠ACE+∠CAE，
∴∠B=∠ACE；
（2）∵∠B=∠ACE，∠BAD=∠DAC，
∴△ABD∽△ACE，
∴AB
AC=AD
AE，
∴AB•AE=AC•AD.

銳角三角形ABC，角B=60度，AD、CE兩條角平分線交於點O.求證：AC=AE+CD

作角AOC的平分線交AC於F，可求出OCF全等於OCD，所以CF=CD.
同理，AF=AE.
所以AC=AE+CD

如圖，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分線AD，CE交於點O，說明AE+CD=AC的理由.

證明：在AC上取AF=AE，連接OF，
則△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE=∠AOF；
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=1
2（180°-∠B）=60°，
則∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；
∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（對頂角相等）
則∠COF=60°，
∴∠COD=∠COF，
又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC=FC，
∵AC=AF+FC，
∴AC=AE+CD.

等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓，交BC於D，弧DE為40度，D為BC中點，求角A和弧AE度數 交AC於E，…D:\My Documents\My Pictures（圖）

連接OD，
∵O為AB的中點，D為BD的中點
∴OD//AC
∴∠EOD=∠AEO=40
又∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO=40
∴∠AOE=180-40-40=100
∴弧AE的度數為100度