如圖，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AC於E、F.求證：AF AD＝BE BD.

如圖，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AC於E、F.求證：AF AD＝BE BD.

證明：∵AD⊥BC，DE⊥DF，
∴∠ADF+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°.
∴∠ADF=∠BDE.
∵BA⊥AC，AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=∠C+∠B=90°.
∴∠CAD=∠B.
∴△AFD∽△BED.
∴AF
AD＝BE
BD.

2、如圖，AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AC於點E、F，則AF:AD=BE：說明理由

∵AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，DE垂直於DF，
∴∠EDA=∠FDA
∵∠BAC=90°∠FDE=90°
∴∠BAC+∠FDE=180°
∴∠DFA+∠DEA=180°
∵∠DEB+∠DEA=180°
∴∠DFA=∠DEB
∴△DFA∽△DEB
∴AF:AD=BE:BD

在RT三角形ABC中，角C=90度D是AB的中點，E，F分別在AC，和BC上，且DE垂直DF：求證EF的平方=AE的平方加BF的

證明：在FD的延長線上取點G，使GD＝FD，連接EG
∵∠ACB＝90
∴∠BAC+∠ABC＝90
∵D是AB的中點
∴AD＝BD
∵GD＝FD，∠BDF＝∠ADG
∴△ADG≌△BDF（SAS）
∴AG＝BF，∠GAD＝∠ABC
∴∠CAG＝∠BAC+∠GAD＝∠BAC+∠ABC＝90
∴EG²＝AE²+AG²＝AE²+BF²
∵DE⊥DF，GD＝FD
∴DE垂直平分FG
∴EF＝EG
∴EF²＝AE²+BF²

如圖，點D是Rt△ABC的斜邊AB上的一點，DE⊥BC於E，DF⊥AC於F，若AF=15，BE=10，則四邊形DECF的面積是______.

∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠DFC=∠C=∠DEC=90°，
∴四邊形DFCE是矩形，
易知DF‖BC，則∠ADF=∠B，
又∵∠AFD=∠DEB，∴△ADF∽△DBE，
∴DF
BE＝AF
DE，即DE•DF=AF•BE=150，
∴S矩形DFCE=DE•DF=150，
即四邊形DFCE的面積為150.

RT△ABC中，AB=AC，AE=BF，BD=DC，∠BAC=90，求證：DE=DF且DE⊥DF

F在AB上吧
E在AC上吧
RT△ABC中，AB=AC，BD=DC
所以AD＝BD＝DC
AD垂直BC
角DAE＝45度
角DBF＝45度
AE＝BF
所以三角形AED和三角形BFD全等
所以DE＝DF
又因為角FDE＝角ADE＋角FDA＝角BDF＋角FDA＝角BDA＝90度
所以DE⊥DF

在等腰三角形ABC中，BD=DC，BF分別交AD，AC中E，F兩點，若AF=EF，求證BE=AC

延長ED至G使DG=ED；連接CG；
∵BD=DC；DG=ED；∠BDE=∠CDG；
∴△BDE≌△CDG；
∴∠BED=∠CGD；BE=CG；
∵AF=EF；
∴∠CAD=∠AEF=∠BED=∠CGD；
∴AC=CG；
∴BE=AC；

如圖，E在△ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC於點F，DF=EF，BD=CE，求證：△ABC是等腰三角形.

證明：過點D作DG‖AE於點G，
∵DG‖AC
∴∠GDF=∠CEF（兩直線平行，內錯角相等），
在△GDF和△CEF中
∠GDF＝∠CEF
DF＝EF
∠DFG＝∠CFE，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG‖AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形.

已知：如圖，BD，CE是△ABC的高，且BD=CE.求證：△ABC是等腰三角形.

證明：當以AB為底邊，CE為高時，S△ABC為：AB×CE×1/2
當以AC為底邊，BD為高時，S△ABC為：AC×BD×1/2
∵AB×CE×1/2=AC×BD×1/2
∵BD=CE
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形

如圖，△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，如果BD=CE，那麼△ABC是等腰三角形，為什麼？

證明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴△BCD與△CBE是直角三角形，
在Rt△BCD與Rt△CBE中，
BC＝CB
BD＝CE，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形.

已知：如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD垂直於AC，CE垂直於AB，垂足分別為點D，E，求 求證：BE=CD

證明：
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠ADB＝∠AEC＝90
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD＝AE
∵BE＝AB-AE，CD＝AC-AD
∴BE＝CD