已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC於D，E是AB上一點，AF⊥CE於F，AD交CE於G點，求證：∠B=∠CFD.

證明：∵在Rt△AEC中，AF⊥EC，
∴AC2=CF•CE.
∵在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴AC2=CD•CB.
∴CF•CE=CD•CB.
∴CF
CB＝ CD
CE.
∵∠DCF=∠ECB，
∴△DCF∽△ECB.
∴∠B=∠CFD.

已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC於D，E是AB上一點，AF⊥CE於F，AD交CE於G點，求證：∠B=∠CFD.

如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等，設BC=a、AC=b、AB=c. （1）求線段BG的長；（2）求證：DG平分∠EDF；（3）連接CG，如圖2，若△BDG與△DFG相似，求證：BG⊥CG.

（1）∵△BDG與四邊形ACDG的周長相等，
∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，
∵D是BC的中點，
∴BD=CD，
∴BG=AC+AG，
∵BG+（AC+AG）=AB+AC，
∴BG=1
2（AB+AC）=1
2（b+c）；
（2）證明：∵點D、F分別是BC、AB的中點，
∴DF=1
2AC=1
2b，BF=1
2AB=1
2c，
又∵FG=BG-BF=1
2（b+c）-1
2c=1
2b，
∴DF=FG，
∴∠FDG=∠FGD，
∵點D、E分別是BC、AC的中點，
∴DE‖AB，
∴∠EDG=∠FGD，
∴∠FDG=∠EDG，
即DG平分∠EDF；
（3）證明：∵△BDG與△DFG相似，∠DFG>∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），
∴∠B=∠FDG，
由（2）得：∠FGD=∠FDG，
∴∠FGD=∠B，
∴DG=BD，
∵BD=CD，
∴DG=BD=CD，
∴B、G、C三點在以BC為直徑的圓周上，
∴∠BGC=90°，
即BG⊥CG.

如圖，在△ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC於F，交AC的平行線BG於G點，DE⊥GF，交AB於點E，連接EG. （1）求證：BG=CF；（2）請你判斷BE+CF與EF的大小關係，並證明你的結論.

證明：（1）∵BG‖AC，∴∠DBG=∠DCF.∵D為BC的中點，∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD與△CFD中，∵∠DBG＝∠DCFBD＝CD∠BDG＝∠CDF∴△BGD≌△CFD（ASA）.∴BG=CF.（2）BE+CF＞EF.∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG…

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC於點F，AD⊥BC於點D，交BG於點E，連接EF. （1）求證：①AE=AG；②四邊形AEFG為菱形. （2）若AD=8，BD=6，求AE的長.

證明：（1）①∵BG平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE，∵∠ABE+∠AGE=90°，∠EBD+∠DEB=90°，∠GEA=∠BED，∴∠AEG=∠EGA，即AG=AE.②∵GF⊥BC於點F，AD⊥BC於點D，BG平分∠ABC，∴∠CFG=∠CDA=90°∴AD‖GF，AG=GF，又∵…

如圖，在三角形abc中，角b的平分線與角C的外角平分線相交於D，dg平行bc交ac，ab於f，g，求證：gf=bg减cf

因為DG//BC
所以∠GDB=∠DBC
因為BD是角分線
所以∠ABD=∠DBC所以∠GDB=GBD所以BG=GD
因為CD是角分線DG//BC
所以∠GDC=∠FCD
所以CF=DF
因為GF=GD-FD
所以GF=BG-CF

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC於點F，AD⊥BC於點D，交BG於點E，連接EF. （1）求證：①AE=AG；②四邊形AEFG為菱形. （2）若AD=8，BD=6，求AE的長.

如圖，△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC的延長線上，且BD=CE，DE與BC相交於點F.求證：DF=EF.

證明：過D點作DG‖AE交BC於G點，如圖，
∴∠1=∠2，∠4=∠3，
∵AB=AC，
∴∠B=∠2，
∴∠B=∠1，
∴DB=DG，
而BD=CE，
∴DG=CE，
在△DFG和△EFC中
∠4＝∠3
∠DFG＝∠EFC
DG＝CE，
∴△DFG≌△EFC，
∴DF=EF.

已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC於D，E是AB上一點，AF⊥CE於F，AD交CE於G點，求證：∠B=∠CFD.