如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD與BE交於點P，BQ⊥AD於點Q，求證：BP=2PQ.

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD與BE交於點P，BQ⊥AD於點Q，求證：BP=2PQ.

證明：∵AB=BC=CA，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中
AB＝AC
∠BAC＝∠C
AE＝DC
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，
∵BQ⊥AD
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ.

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD與BE交於點P，BQ⊥AD於點Q，求證：BP=2PQ.

證明：∵AB=BC=CA，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中AB＝AC∠BAC＝∠CAE＝DC∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQ…

在△ABC中，AD是中線，O為AD的中點，直線a過點O，過A、B、C三點分別作直線a的垂線，垂足分別為G、E、F，當直線a繞點O旋轉到與AD垂直時（如圖1），易證：BE+CF=2AG， 當直線a繞點O旋轉到與AD不垂直時，在圖2、圖3兩種情况下，線段BE、CF、AG又有怎樣的數量關係？請寫出你的猜想，並對圖3的猜想給予證明.

（1）猜想結果：圖2結論為BE+CF=2AG，圖3結論為BE-CF=2AG.（2）證明：連接CE，過D作DQ⊥l，垂足為Q，交CE於H（圖4），∵∠AGO=∠DQO=90°，∠AOG=∠DOQ（對頂角相等），且O為AD的中點即AO=DO，∴△AOG≌△DOQ（AAS…

如圖1-40所示，三角形ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE平行AC交AB於E，過E作AD的垂線交BC的延長線於F.連接AF. 求證∠CAF=∠B

證明：
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵DE‖AC
∴∠EDA=∠CAD
∴∠EAD=∠EDA
∴EA=ED
∵EF⊥AD
∴EF垂直平分AD
∴FA=FD
∴∠FAD=∠FDA
∴∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD
∵∠BDA=∠CAD
∴∠CAF=∠B

如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB於點E，交AD於點F，求證：∠ADC=∠BDE.

作CH⊥AB於H交AD於P，∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°.∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.又∵BC中點為D，∴CD=BD.又∵CH⊥AB，∴CH=AH=BH.又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=…

如圖三角形abc的面積是54平方釐米，be:ec=1:2，AD:DB=1:2求三角形ADE的面積.（AE為BC垂線.） sos

三角形ABE為三角形ABC面積的1/3（因為BC=3BE）
三角形ADE為三角形ABE面積的1/3（因為AB=3AD）
所以三角形ADE為三角形ABC的（1/3）*（1/3）=1/9
54*（1/9）=6
所以為6平方釐米
小學問題…

如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF.請你判斷AD是△ABC的中線還是角平分線？請說明你判斷的理由.

AD是△ABC的中線.
理由如下：
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，
∠BED＝ ∠CFD
∠BDE＝∠CDF
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BD=CD.
∴AD是△ABC的中線.

如圖所示，△ABC中，點D、E、F分別在三邊上，E是AC的中點，AD、BE、CF交於一點G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，則△ABC的面積是（） A. 25 B. .30 C. 35 D. 40

BD=2DC，
∴S△ABD=2S△ACD，
∴S△ABC=3S△ACD，
∵E是AC的中點，
∴S△AGE=S△CGE，
又∵S△GEC=3，S△GDC=4，
∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，
∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30.
故選B.

如圖所示，在△ABC中，O是高AD和BE的交點，觀察圖形，試猜想∠C和∠DOE之間具有怎樣的數量關係，並證明你的猜想結論.

∠C+∠DOE=180°.
∵AD，BE是△ABC的高（已知），
∴∠AEO=∠ADC=90°（高的意義），
∵∠DOE是△AOE的外角（三角形外角的概念），
∴∠DOE=∠OAE+∠AEO（三角形的一個外角等於不相鄰的兩個內角的和）
=∠OAE+90°（∠AEO=90°）
=∠OAE+∠ADC（∠ADC=90°）
∴∠C+∠DOE=∠OAE+∠C+∠ADC=90°+90°=180°.
另法：在四邊形CEOD中，∠C+∠EOD+90°+90°=360°，
則∠C+∠EOD=180°.

如圖，已知：△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足. 求證：（1）G是CE的中點；（2）∠B=2∠BCE.

證明：（1）連接DE；
∵AD⊥BC，E是AB的中點，
∴DE是Rt△ABD斜邊上的中線，即DE=BE=1
2AB；
∴DC=DE=BE；
又∵DG=DG，
∴Rt△EDG≌Rt△CDG；（HL）
∴GE=CG，
∴G是CE的中點.
（2）由（1）知：BE=DE=CD；
∴∠B=∠BDE，∠DEC=∠DCE；
∴∠B=∠BDE=2∠BCE.