図のように、△ABCの中で、AB=AC、EはABの上の点で、FはAC延長線の一点で、しかもBE=CF、もしEFとBCがDで交差するならば、検証を求めます：DE=DF.

証明：FH‖AB交BC延長線をHにし、
∵FH‖AB，
∴∠FHC=´B.
また∵AB=AC、
∴∠B=∠ACB.
また▽▽ACB=∠FCH、
∴∠FHE=´FCH.
∴CF=HF.
また∵BE=CF、
∴HF=BE.
また∵FH‖AB，
∴∠BED=´HFD、
△DBEと△FHEでは、
∠B＝∠FHC
BE＝HF
∠BED＝∠HFD、
∴△DBE≌△FHE（ASA）.
∴DE=DF.

CDは円Oの弦で、CDでCE=DFを取って、OE、OFを接続して、そして交円Oを延長して点Aで、B. （1）試しに△OEFの形状を判断し、理由（2）を説明する。

1）OC=OD、三角形OCDは二等辺三角形、角OCD=角ODCであり、またCE=FEのため、三角形OCEと三角形ODFが合同であるため、OE=OFである。
三角形OEFも二等辺三角形です。
2）三角形OCEと三角形ODFは合同なので、角DOB=角COAです。
三角形のBDOと三角形のCOAは二つの辺が等しいです。OD=OB=OA=OC、そして角DOB=角COAです。
だからBD=AC
だからBDとACに対応するアークac=bd

すでに知っています：図のように、円oの中で、弦AB=CD、E、FはそれぞれAB、CDの上の点で、しかもBE=DF、証明を求めます：OE=OF

証明:
OM-AB于M，ON⊥CD于N
BM=½AB，DN=½CD【垂径定理】
∵AB=CD
∴BM=DN
OM=ON【弦が等しい、弦心間が等しい】
∵BE=DF
∴EM=FN
また∵∠OF=90º
∴⊿OME≌ONF（SAS）
∴OE=OF

26、図のように、△ABCでは、ABBCは点Dに、ACは点Eに、点Dを過ぎてDF⊥ACとし、垂足はF.=ACとし、ABを直径とする円O交 26、図のように、△ABCにおいて、AB=ACはABを直径とする円Oを点Dに渡し、ACを点Eに渡し、点Dを過ぎてDF⊥ACとし、垂足をFとする。（1）証拠を求める：DFはSOの接線である；

（1）RT三角形DFCでは、角FDC+角FCD=90度がODに接続され、三角形BODは二等辺三角形ODB=角ABCであり、三角形ABCは二等辺三角形ABC=角FPDであるので、角ODB+角FDC=角FDC=90度角ODF=180度-90度=90度DFは、ABCの二等辺である。

図のように、△ABCにおいて、AB=ACはABを直径として、BC、ACをD、Eの2点にそれぞれ渡し、点Dを過ぎてDF⊥ACとし、垂足をFとする。（1）証拠を求める：DFはSOの接線である；（2）若し AE= DE，DF=2，DEの半径を求める。

（1）証明：ODの接続、例えば図、
∵AB=AC、
∴∠C=´B、
∵OD=OB、
∴∠B=∠1，
∴∠C=∠1，
∴OD‖AC.
∴∠2=∠FDO、
∵DF⊥AC、
∴∠2=90°、
∴∠FDO=90°
∵ODは半径であり、
∴FDは年賀状Oの接線である。
（2）∵ABは気体の直径であり、
∴∠ADB=90°でAD⊥BC、
∵AC=AB、
∴∠3=∠4.
∴アークED=アークDB
弧AE＝弧DEであり、
∴弧DE=アークDB=アークAE、
∴∠B=2´4、
∴∠B=60°、
∴∠C=60°、△OBDは等辺三角形で、
Rt△CFDにおいて、DF=2,∠CDF=30°
∴CF=
3
3 DCF=2
3
3,
∴CD=2 C F=4
3
3,
∴DB=4
3
3,
∴OB=DB=4
3
3,
つまり、Oの半径は4です
3
3.

既知：図のように、等辺三角形ABC側ABを直径としているDEOと辺AC、BCはそれぞれ点D、Eに渡し、点Dを過ぎてDF⊥BCとし、垂足はFである。（1）証拠を求める：DFはSOの接線である；（2）等辺三角形ABCの辺の長さが4なら、DFの長さを求める。（3）図中の影の部分の面積を求めます。

証明：（1）DOを接続する。
｛△ABCは正三角形で、
∴∠A=∠C=60°
⑧OA=OD、
∴△OADは等辺三角形である。
∴∠ADO=60°、
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°(2分)
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°
∴DFは年賀状Oの接線である；（3分）
（2）④△OADは等辺三角形であり、
∴AD=AO=1
2 AB=2.
∴CD=AC-ARD=2.
Rt△CDFでは、
⑧CDF=30°、
∴CF=1
2 C-D=1.
∴DF=
CD 2−CF 2＝
3;(5分)
（3）接続OEは、（2）同理でCE=2.
∴CF=1、
∴EF=1.
∴S直角台形FDOE=1
2（EF+OD）・DF=3
3
2,
∴S扇形OED=60π×22
360=2π
3,
∴S影=S直角台形FDOE-S扇形OED=3
3
2-2π
3.(7分)

図のように、弦ABと弦CDはEに垂直であり、FはED上の一点であり、CE=EFであり、AF交BDはHに延長される。AHはBDに垂直であることを確認してください。

証明：ACを連結する
CE=EF、AEは△ACFの中線で、AE⊥CFは、同時に高いです。
したがって、△ACFは二等辺三角形で、▽ACF=´AFC
∠ACFと∠Bのペアは、いずれもアークADですので、´ACF=´B
なら▽ACF=∠B=∠AFC
∠B+∠BAH=∠AFC+∠BAH=90°
∴∠AHB=90°AH⊥BD

図のように、弦ABと弦CDはEに垂直であり、FはED上の一点であり、CE＝EFであり、AF交BDはHに延長される。証明を求めます：AH垂直BD.

図がないと、AとBとDの位置が不確定で、解けません。

既知：図のように、ABはSOの直径であり、ADは弦であり、OCはFに垂直にADがEに、DE、BEに接続され、また∠C=´BEDに接続されている。（1）証明を求める：ACは、SOの接線である；（2）OA=10なら、AD=16、ACの長さを求める。

（1）証明：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：（（（（（（））≦≦（（（（（））））≦≦≦AOC=90°.（（（（（（（（））））））））））））））））））.wowowowowos s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s=90..............（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（8.（…

図のように、ABは円Oの直径であることが知られています。BDは円Oの接線で、Bを通過する弦BCは垂直OD円Oは点Cで、垂直はMです。BCはBDに等しい場合、6 cmになります。図の影の部分の面積を求めます。円の半分は半分で、半円の半分は影です。

証明：OCに接続する
∵OD⊥BC，Oは円心であり、
∴OD平分BC.
∴DB=DC、
△OBDと△OCDでは、
OB=OCDO=DODB=DC∴△OBD≌△OCD.（SSS）
∴∠OCD=´OBD.
また∵ABはお金の直径であり、BDはお金の接線であり、
∴∠OCD=´OBD=90°∴CDは、DEOのカットです。
⑧DB、DCは接線、B、Cは接点、
∴DB=DC.
またDB=BC=6,
∴△BCDは等辺三角形である。
∴∠BOC=360°-90°-60°=120°、
∠OBM=90°-60°=30°、BM=3.
∴OM=BM•tan 30°=3,OB=2 OM=23.
∴S影部分=S扇形OBC-S△OBC
=120×π×（2）
3）2360-12×6×
3
=4π-33(cm 2)

図のように、△ABCの中で、AB=AC、EはABの上の点で、FはAC延長線の一点で、しかもBE=CF、もしEFとBCがDで交差するならば、検証を求めます：DE=DF.